Considere a equação diferencial
Ache a solução geral.
Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial .
Passo 1
a) A letra (a) nos pede simplesmente pra encontrarmos a solução geral, vamos lá então, pra começar precisamos perceber que essa EDO é uma separável. Complicado notar isso quando precisamos ter
E o que temos não parece muito com isso que procuramos.
Vou precisar agora que você se lembre de uma propriedade da exponencial. Temos que
No caso da nossa questão temos
Então reescrevendo a EDO
Observa que pra esse caso agora temos exatamente o que estávamos procurando, um produto de duas funções, uma só em , e outra só em .
Para começar a resolução devemos trocar por
Passo 2
Vamos passa pra o lado esquerdo tudo o que está em função de e para o direito tudo o que está em função de
Vamos deixar isso com uma cara mais amigável subindo esse .
Passo 3
Agora temos que aplicar a integral dos dois lados
O lado esquerdo fica tranquilinho já que é simplesmente um exponencial e temos a integral da exponencial é a própria exponencial:
Onde é nossa constante de integração. Assim, ficamos com:
Mas e o lado direito? Vamos ver como resolve no próximo passo
Passo 4
Queremos resolver essa integral
Pra resolver isso vou precisar que você se lembre de como resolver a integral por partes. Vamos seguir a ordem do LIATE (log, inversas, algébrica, trigonométrica, exponencial), onde essa ordem é a que vamos respeitar para escolher o
Como não temos nenhuma função log ou inversa, nosso então será o .
Tudo o que sobra dentro da integral é então o
A nossa integral vai ficar
Aquela integral que sobrou é tranquilo fazer já que já vimos que a integral da exponencial é ela mesma, então vamos ter
Passo 5
Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar
Agora precisamos isolar aquele , pra isso, vamos aplicar a função inversa a exponencial dos dois lados, isso é, o , assim conseguimos isolar o
Cortando o com o do lado esquerdo ficamos com:
Que é a nossa solução geral pedida no item a).
Passo 6
b) Agora precisamos aplicar a condição inicial para descobrirmos o valor da constante.
Ele disse no enunciado que
Então, vamos substituir o por 0 e igualar a 2. Assim teremos uma equação onde vamos conseguir achar o valor da constante
Substituindo todos os por zero
Para achar o valor de vamos aplicar a exponencial em ambos os lados, já que dessa vez queremos isolá-lo.
Já que temos o valor de C podemos então substituir na solução que tínhamos antes
Prontinho, respondida a letra d).
Resposta
a)
b)