Seja a equação diferencial ordinária
Obtenha a solução geral da EDO acima.
Passo 1
Lendo o enunciado temos um pedido bem diretão. É pra gente encontrar a solução da EDO...tranquilo, mas como? Vou precisar que você perceba que isso é uma EDO separável, ou seja, temos a EDO na forma
Nesse caso temos
Colocar a derivada na forma em vez de
Passo 2
Vamos então colocar do lado esquerdo tudo aquilo que está em função de e do lado direito tudo o que está em função de
Neste passo, como jogamos o termo para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero! Lembra que não podemos ter divisão por zero? Então, essa é a razão
Então e , ou seja:
Passo 3
Próximo passo será integrar dos dois lados:
Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:
Para essa igualdade ser real vamos precisar que
Logo
Isso acontece pois está multiplicando um , e na igualdade observe que não tem nada em função de , logo . E a parte constante () vai ser igual a parte constante do outro lado da igualde (1).
Logo:
Substituindo:
Podemos agora então separar a integral em duas outras que conseguimos resolver
Substituindo na primeira equação:
Para resolver essas integrais do lado esquerdo da igualdade vou precisar que você lembre que
E
E olhando para o lado direito, vamos lembrar que para a integral da constante temos:
Onde é uma constante, que no nosso caso é o número 2.
Teremos então que
Para juntar esses dos dois vamos precisar lembrar da propriedade do
tendo
Vamos só trocar de lugar o que está negativo, pra gente não se confundir:
Aplicando a propriedade:
Passo 4
Agora precisamos isolar o que pode ser meio chatinho, mas vem comigo, confia que vai dar certo:
Como apareceu um , vamos aplicar a exponencial nos dois lados, assim conseguimos remover esses de dentro do ln:
Vou abrir o exponencial do lado direito da igualdade com a propriedade
Teremos então
Tirando do módulo:
Pra facilitar nossa vida, vamos substituir . Caso você não queria, tranquilo, você pode levar esse até o final da conta:
Colocando agora o em evidência
Finalmente então isolando o
Logo, a solução geral da EDO é