Exercícios Resolvidos de EDO de Ordem Superior

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Enunciado

Determine uma base (com funções dadas em série) para o espaço de soluções das equações abaixo:

(b) y ' - x y = 0 , em - ∞ < x < ∞

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para determinar uma base para a equação diferencial naquele intervalo dado.

Obs: a base deve ser com funções dadas em série.

Mas como podemos fazer isso??

Uma forma é separarmos as variáveis, analisar a resposta e vermos como podemos aplicar em uma função dada em série.

Se não entendeu, bora ver direitinho!

Passo 2

Bom... resolvendo por separação de variáveis, temos:

d y d x - x y = 0

d y y = x   d x

Integrando dos 2 lados:

∫ d y y = ∫ x   d x

l n l n   y   = x 2 2 + c

y = e x 2 2 + c

Podemos usar a Série de Taylor para expandir o termo exponencial!!

Passo 3

Caso não lembre, a Série de Taylor de uma função f ( x ) é dada da seguinte forma:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x n

Agora vãos aplicar ao termo em exponencial!!

Passo 4

Aplicando ao termo em exponencial, temos:

y = ∑ n = 0 ∞ d n d x n e x 2 2 + c ∙ x n n !

Obs: esse termo está centrado em a .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = ∑ n = 0 ∞ d n d x n e x 2 2 + c ∙ x n n !