Resolva o problema de valor inicial abaixo, expressando a solução em termos de uma convolução com a função , a qual é uma função contínua arbitrária definida no intervalo :
Dica:
Passo 1
A primeira coisa a fazer é aplicar a transformada de Laplace:
Como:
Então:
Já que as condições iniciais são nulas, sendo :
Além disso:
E, chamamos:
Assim, tudo vai ficar:
Passo 2
Vamos agora isolar esse afim de obter sua inversa:
Separando isso aí:
Separamos em duas para facilitar na hora de achar a inversa.
Passo 3
Temos que:
Pela dica da questão:
Agora vamos achar a inversa disso. Temos que:
A fração à direita é a transformada de deslocada uma unidade para à direita. Então:
Da mesma forma:
Para a última, temos o seno:
A exponencial de constante que multiplica essas transformadas indica que a transformada inversa está deslocada e multiplicada por um degrau. Assim:
Passo 4
Agora vamos tentar achar a inversa da segunda parte, :
Vimos que:
E que a inversa disso é:
Também sabemos que:
Então temos o produto de transformadas e sabemos a inversa de cada fato. Com isso, podemos achar a inversa desse produto usando o teorema da convolução:
Passo 5
Juntando tudo até agora:
O problema pediu para deixar a resposta na forma de uma integral convolução, então esse é o resultado.