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Exercícios Resolvidos de EDO de Ordem Superior

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Exercício 81234567

Enunciado

UFCG. Equações Diferenciais Lineares. Prova AV3. 2018.2. Questão 4.

4. Resolva o PVI:

y ' ' ' - y ' ' + 4 y ' - 4 y = - 6 s e n x y 0 = 2 y ' 0 = 2 y ' ' 0 = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que calcular a solução da EDO y ' ' ' - y ' ' + 4 y ' - 4 y = - 6 s e n x baseado que y x é a solução e no ponto x = 0 temos que y 0 = 2 , y ' 0 = 2 e y ' ' 0 = 0 .

Qual método podemos usar para obter a solução y x ? 🤔🤔

Para esse caso, podemos usar o método de solução com Laplace.

A ideia é reescrever y e f x = - 6 s e n x como funções de Laplace e substituir na EDO.

Vamos chamar de L y x a solução transformada e as transformadas de y ' , y ' ' e y ' ' ' são dadas por

L y n x = s n L y x - s n - 1 y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - s y n - 2 0 - y n - 1 ( 0 )

Assim substituindo L f x , L y x , L y ' x , L y ' ' x e L y ' ' ' x na EDO, conseguimos obter a solução

Vamos ver como fica no nosso caso? 😁

Passo 2

Primeiro temos que transformar f x em f s aplicando a transformada em f x .

L f x = L - 6 s e n x

L f x = - 6 L s e n x

Lembrando da tabelinha das transformadas, temos que a transformada do s e n x é dada por

L f x = - 6 · 1 s 2 + 1

L f x = - 6 s 2 + 1

Seguindo a regra dada no passo anterior, temos que L y ' x , L y ' ' x e L y ' ' ' x são dados por

L y ' x = s L y x - y 0 L y ' ' x = s 2 L y x - s y 0 - y ' 0 L y ' ' ' x = s 3 L y x - s 2 y 0 - s y ' 0 - y ' ' 0

Substituindo na EDO...

s 3 L y x - s 2 y 0 - s y ' 0 - y ' ' 0 - s 2 L y x - s y 0 - y ' 0 + 4 s L y x - y 0 - 4 L y x = - 6 s 2 + 1

Substituindo y 0 por 2 , y ' 0 por 2 e y ' ' 0 por 0 , vamos obter

s 3 L y x - 2 s 2 - 2 s - 0 - s 2 L y x - 2 s - 2 + 4 s L y x - 2 - 4 L y x = - 6 s 2 + 1

Organizando...

s 3 L y x - 2 s 2 - 2 s - s 2 L y x + 2 s + 2 + 4 s L y x - 8 - 4 L y x = - 6 s 2 + 1

s 3 L y x - 2 s 2 - s 2 L y x + 4 s L y x - 6 - 4 L y x = - 6 s 2 + 1

s 3 - s 2 + 4 s - 4 L y x - 2 s 2 - 6 = - 6 s 2 + 1

s 3 - s 2 + 4 s - 4 L y x = 2 s 2 + 6 - 6 s 2 + 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Fatorando s 3 - s 2 + 4 s - 4 vamos chegar em s - 1 s 2 + 4

Substituindo na equação...

s - 1 s 2 + 4 L y x = 2 s 2 + 6 - 6 s 2 + 1

L y x = 2 s 2 s - 1 s 2 + 4 + 6 s - 1 s 2 + 4 - 6 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4

Com isso, só nos resta calcular a transformada inversa de L y x para obter y x !

Pra isso, vamos reescrever essas frações por meio de frações parciais.

Começando por 2 s 2 s - 1 s 2 + 4 , temos

2 s 2 s - 1 s 2 + 4 = A s - 1 + B s + C s 2 + 4 = A s 2 + 4 + B s + C s - 1 s - 1 s 2 + 4

Simplificando o denominador...

2 s 2 = A s 2 + 4 + B s + C s - 1

2 s 2 = A s 2 + 4 A + B s 2 - B s + C s - C

2 s 2 = A + B s 2 C - B s + 4 A - C

Por igualdade de polinômios

A + B = 2 C - B = 0 4 A - C = 0 → B = C A = C 4

Isolamos A e B na terceira e segunda equação, respectivamente, e agora vamos substituir na primeira equação

A + B = 2 → C 4 + C = 2

5 C 4 = 2

C = 8 5

Portanto

A = 2 5 B = C = 8 5

Então podemos reescrever a primeira fração como

2 s 2 s - 1 s 2 + 4 = 2 5 · 1 s - 1 + 8 5 · s s 2 + 4 + 4 5 · 2 s 2 + 4

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Agora vamos para a próxima fração

6 s - 1 s 2 + 4 = D s - 1 + E s + F s 2 + 4 = D s 2 + 4 + E s + F s - 1 s - 1 s 2 + 4

Simplificando o denominador...

6 = D s 2 + 4 + E s + F s - 1

6 = D s 2 + 4 D + E s 2 - E s + F s - F

6 = D + E s 2 + F - E s + 4 D - F

Por igualdade de polinômios, podemos dizer que

D + E = 0 F - E = 0 4 D - F = 6

Isolando D e F nas duas primeiras equações, temos

D = - E

F = E

Substituindo na terceira equação

4 D - F = 6 → 4 - E - E = 6

- 5 E = 6

E = - 6 5

Portanto

D = 6 5 E = F = - 6 5

Dessa maneira, reescrevemos a segunda fração como

6 s - 1 s 2 + 4 = 6 5 · 1 s - 1 - 6 5 · s s 2 + 4 - 3 5 · 2 s 2 + 4

Está acompanhando? 🤔

Passo 5

Por último, vamos fazer o mesmo processo para a terceira fração.

6 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4 = G s + H s 2 + 1 + I s - 1 + J s + K s 2 + 4

6 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4 = G s + H s - 1 s 2 + 4 + I s 2 + 1 s 2 + 4 + ( J s + K ) s 2 + 1 s - 1 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4

Simplificando o denominador...

6 = G s + H s - 1 s 2 + 4 + I s 2 + 1 s 2 + 4 + J s + K s 2 + 1 s - 1

6 = G s 2 - G s + H s - H s 2 + 4 + I s 4 + 4 s 2 + s 2 + 4 + J s 3 + J s + K s 2 + K s - 1

6 = G s 2 + H - G s - H s 2 + 4 + I s 4 + 5 s 2 + 4 + J s 3 + J s + K s 2 + K s - 1

Continuando os cálculos, temos

6 = G s 4 + 4 G s 2 + H - G s 3 + 4 H - G s - H s 2 - 4 H + I s 4 + 5 I s 2 + 4 I + J s 4 - J s 3 + J s 2 - J s + K s 3 - K s 2 + K s - K

Organizando essa equação, vamos obter

6 = G + I + J s 4 + H - G - J + K s 3 + 4 G - H + 5 I + J - K s 2 + 4 H - 4 G - J + K s - 4 H + 4 I - K

Por igualdade de polinômios, podemos montar um sistema dado por

G + I + J = 0 H - G - J + K = 0 4 G - H + 5 I + J - K = 0 4 H - 4 G - J + K = 0 - 4 H + 4 I - K = 6

Para resolver esse sistema, a maneira mais simples é pelo modo matricial escalonando pela forma de escada.

Convertendo o sistema de equações para matriz, temos

1 0 1 1 0 - 1 1 0 - 1 1 4 - 1 5 1 - 1 - 4 4 0 - 1 1 0 - 4 4 0 - 1 0 0 0 0 6

Partiu escalonar essa matriz? 😁

Passo 6

A ideia é tentar deixar a diagonal principal da matriz da esquerda como 1 em todos os termos e 0 nos outros termos fora da diagonal.

Vamos começar zerando a primeira coluna fora da diagonal principal.

1 0 1 1 0 - 1 1 0 - 1 1 4 - 1 5 1 - 1 - 4 4 0 - 1 1 0 - 4 4 0 - 1 0 0 0 0 6 L 2 → L 2 + L 1 L 3 → L 3 - 4 L 1 L 4 → L 4 + 4 L 1 → 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 - 1 1 - 3 - 1 0 4 4 3 1 0 - 4 4 0 - 1 0 0 0 0 6

Continuando o escalonamento...

1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 - 1 1 - 3 - 1 0 4 4 3 1 0 - 4 4 0 - 1 0 0 0 0 6 L 3 → L 3 + L 2 L 4 → L 4 - 4 L 2 L 5 → L 5 + 4 L 2 → 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 - 3 0 0 0 0 3 - 3 0 0 8 0 3 0 0 0 0 6

Agora vamos manipular a terceira coluna!

1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 - 3 0 0 0 0 3 - 3 0 0 8 0 3 0 0 0 0 6 L 1 → L 1 - 1 2 L 3 L 2 → L 2 - 1 2 L 3 L 3 → L 3 2 L 4 → L 4 3 L 5 → L 5 - 4 L 3 → 1 0 0 5 / 2 0 0 1 0 3 / 2 1 0 0 1 - 3 / 2 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 12 3 0 0 0 0 6

Chegamos à penúltima coluna!

1 0 0 5 / 2 0 0 1 0 3 / 2 1 0 0 1 - 3 / 2 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 12 3 0 0 0 0 6 L 1 → L 1 - 5 2 L 4 L 2 → L 2 - 3 2 L 4 L 3 → L 3 + 3 2 L 4 L 5 → L 5 - 12 L 4 → 1 0 0 0 5 / 2 0 1 0 0 5 / 2   0 0 1 0 - 3 / 2 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 15 0 0 0 0 6

E por fim, escalonando a última coluna, temos

1 0 0 0 5 / 2 0 1 0 0 5 / 2   0 0 1 0 - 3 / 2 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 15 0 0 0 0 6 L 1 → L 1 - 1 6 L 5 L 2 → L 2 - 1 6 L 5 L 3 → L 3 + 1 10 L 5 L 4 → L 4 + 1 15 L 5 L 5 → L 5 15 → 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 - 1 - 1 3 / 5 2 / 5 2 / 5

Como cada coluna representa uma letra, temos que

G = H = - 1 I = 3 5 J = K = 2 5

Estamos chegando ao fim!

Passo 7

Com G , H , I , J e K obtidos, podemos reescrever nossa última fração como

6 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4 = G s + H s 2 + 1 + I s - 1 + J s + K s 2 + 4

6 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4 = - s - 1 s 2 + 1 + 3 5 · 1 s - 1 + 2 5 · s + 1 s 2 + 4

6 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4 = - s s 2 + 1 - 1 s 2 + 1 + 3 5 · 1 s - 1 + 2 5 · s s 2 + 4 + 2 5 · 1 s 2 + 4

Substituindo as frações que obtemos parcialmente em L y x , temos

L y x = 2 s 2 s - 1 s 2 + 4 + 6 s - 1 s 2 + 4 - 6 s 2 + 1 s - 1 s 2 + 4

L y x = 2 5 · 1 s - 1 + 8 5 · s s 2 + 4 + 4 5 · 2 s 2 + 4 + 6 5 · 1 s - 1 - 6 5 · s s 2 + 4 - 3 5 · 2 s 2 + 4 - - s s 2 + 1 - 1 s 2 + 1 + 3 5 · 1 s - 1 + 2 5 · s s 2 + 4 + 2 5 · 1 s 2 + 4

L y x = 2 5 · 1 s - 1 + 8 5 · s s 2 + 4 + 4 5 · 2 s 2 + 4 + 6 5 · 1 s - 1 - 6 5 · s s 2 + 4 - 3 5 · 2 s 2 + 4 + s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 - 3 5 · 1 s - 1 - 2 5 · s s 2 + 4 - 1 5 · 2 s 2 + 4

Ficou enorme, não é?

Organizando os termos comuns...

L y x = 2 5 + 6 5 - 3 5 · 1 s - 1 + 8 5 - 6 5 - 2 5 · s s 2 + 4 + 4 5 - 3 5 - 1 5 · 2 s 2 + 4 + s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

L y x = 1 · 1 s - 1 + 0 · s s 2 + 4 + 0 · 2 s 2 + 4 + s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

L y x = 1 s - 1 + s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

Melhorou, não foi?

Agora aplicando a transformada inversa nos dois lados da equação, temos

L - 1 L y x = L - 1 1 s - 1 + s s 2 + 1 + 1 s 2 + 1

Pelas propriedades da transformada a transformada inversa de uma transformada de uma função, resulta na própria função. E também a transformada da soma é igual a soma das transformadas...

y x = L - 1 1 s - 1 + L - 1 s s 2 + 1 + L - 1 1 s 2 + 1

Ainda está acompanhando? 🤔🤔

Passo 8

Agora o que falta fazer é obter as transformadas inversas de L - 1 1 s - 1 , L - 1 s s 2 + 1 e L - 1 1 s 2 + 1 .

Vamos analisá-las uma de cada vez!

Primeiro vamos obter

L - 1 1 s - 1

Perceba que analisando a tabela das transformadas, temos que

L e - a x = 1 s + a

Se a = - 1 , então

L - 1 1 s - 1 = e x

Com relação a

L - 1 1 s 2 + 1

Vemos que a transformada do s e n a t é muito parecida com o que temos

L s e n a x = a s 2 + a 2

Comparando as duas transformadas, vemos que a = 1 , no nosso caso

L - 1 1 s 2 + 1 = s e n x

Agora para

L - 1 s s 2 + 1

Pela tabela, vemos que a transformada de cos ⁡ a x é muito parecida com a fração que temos

L c o s a x = s s 2 + a 2

Comparando as duas, vemos que a = 1 , portanto

L - 1 s s 2 + 1 = cos ⁡ x

Logo, substituindo as transformadas em y x , temos

y x = L - 1 1 s - 1 + L - 1 s s 2 + 1 + L - 1 1 s 2 + 1

y x = e x + cos ⁡ x + s e n x

E, portanto, essa é a solução da EDO y ' ' ' - y ' ' + 4 y ' - 4 y = - 6 s e n x dada no enunciado!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y x = e x + cos ⁡ x + s e n x