UFCG - Sem Campus - Equações Diferenciais Lineares - Provas - Teste 9 - AV3 - 2018.2 - Questão 2 - Alternativa b)
Mostre que o ponto é um ponto singular regular. Tente, em cada problema, encontrar soluções da forma . Mostre que existe apenas uma solução não-nula dessa forma para o problema e que não existem soluções não-nulas dessa forma para o problema .
Passo 1
Opa! Tudo bem com você?
Temos que neste enunciado nos é indicado um ponto que devemos mostrar como ponto singular e regular, para isso vamos ter que verificar as seguintes condições
e,
em que e são valores finitos. E, também temos que a equação diferencial dada no enunciado é da forma
em nossa alternativa temos que
ou seja, , e . Estas informações bastam para demonstrar a regularidade do ponto singular . O restante da questão está relacionado a propor uma solução da forma
que não existirá, ou será uma solução trivial, de acordo com o enunciado para esta alternativa! Para encontrar esta solução vamos substituir este formato na equação diferencial e verificar as condições para a existência e unicidade da solução! Então! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro para verificar que é singular regular, vamos escrever as condições de regularidade
Como temos um no denominador, e outro no numerador, podemos simplificá-lo, note que
Simplificando novamente, temos que
Ou seja, a primeira condição é válida, uma vez que é finito! A segunda condição é bastante similar, temos que
Agora será melhor distribuir alguns termos para obter
Como também é finito, ambas as condições são válidas e é um ponto singular regular! Vamos começar a trabalhar na solução agora!
Passo 3
Temos a seguinte equação diferencial
e, queremos uma solução da forma
Precisamos calcular a primeira derivada e a segunda derivada e encontrar as condições para que a equação diferencial seja obedecida. Como temos que a derivada é linear, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, ou seja, em um somatório como acima, podemos calcular a derivada como
Para calcular esta derivada usamos então a regra do tombo, ou seja, temos que
obtendo então que
ou seja, a segunda derivada é da forma
e, pela regra do tombo novamente, temos que
Com as derivadas em mãos vamos voltar à nossa equação diferencial e procurar as condições necessárias! Bora lá!
Passo 4
Usando ambas as derivadas em
temos que
Note que podemos simplesmente entrar com nos somatórios e como e , assim como podemos escrever
É interessante evidenciarmos o máximo possível de termos acima para procurarmos uma recorrência, desta forma é interessante fazer a mudança no último somatório, de forma que
Note que use o fato que na mudança escolhida leva à e . Ainda iremos precisar reescrever um pouco a equação acima para identificar a nossa recorrência! Vem comigo!
Passo 5
Para fazer isso será necessário escrever os dois outros somatórios com , e evidenciar , no entanto, antes vamos primeiro expandir os primeiros somatórios de forma que os índices de todos as três somas sejam iguais, temos que
O primeiro termo é nulo, portanto, temos que
Da mesma forma, podemos escrever para o segundo somatório que
E, também que
Usando tudo isso, temos que a nossa equação diferencial toma a seguinte forma
Evidenciando nossa soma e o termo com , temos que
Consegue agora identificar como ficará a nossa recorrência? Saca só!
Passo 6
Para que ambos os lados da equação obtida no final do passo anterior sejam iguais é preciso que , e que
Evidenciando temos que
Como temos que
Podemos evidenciar novamente na equação acima e escrever
E, finalmente, a relação de recorrência será
Vamos expandir alguns termos e ver se obtemos alguma relação a mais entre os coeficientes! Vamos lá!
Passo 7
Primeiro, temos que para
Pois temos que . Agora, para , temos
já que encontramos que . Continuando para , temos que
Em que a recorrência permite escrever novamente em termos de . Note que isso vai acontecer para todo e qualquer . Ou seja, temos que a nossa solução é apenas a solução trivial uma vez que .
Uma solução trivial! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Solução trivial .