UFCG; Equações Diferenciais Lineares; AV3 – 2018.2; questão 3
Determine as características das soluções da equação
próximo dos pontos singulares regulares. Lembre: Você deve determinar quais são os pontos singulares regulares e, para cada um deles, determinar a equação indicial, expoentes da singularidade e a forma da solução (não é necessário exibir explicitamente os coeficientes da solução). E, depois, dizer o que acontece com as soluções obtidas próximo do ponto singular regular associado.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bão por aí???
Hoje nós vamos destruir essa questão teórica! Vem comigooo!
Nosso primeiro desafio é encontrar o ponto singular regular, sabendo que os pontos singulares:
Logo, as raízes que zeram essas equações podem ser:
E pra sabermos se é regular, vamos usar o método de Frobenius na qual temos que calcular:
E
Para :
A condição para ser singular é que os dois limites existam.
Para :
Para :
Ou sejaaa, apenas o ponto satisfez a condição para ser singular regular!
Passo 2
Pra determinarmos a equação indicial basta sabermos que ela tem a seguinte forma:
Onde:
Opa, isso te parece familiar?? Pois é, são os limite que você tem que calcular pra dizer se seu ponto singular é regular. Aqui ficou molezinha! Vamos jogar o e que encontramos no início da questão:
Desenvolvendo a equação:
Prontinhooo, essa é a nossa equação indicial!
Passo 3
E por fim, o enunciado os pede a forma da solução que seria expressa como:
E
Ou
E
Caso .
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