UFCG – Equações Diferenciais Lineares – Provas - Teste 9 – AV3 – 2018.2 – questão 1a
Determine uma base (com funções dadas em série) para o espaço de soluções das equações abaixo:
- , em
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para determinar uma base para a equação diferencial naquele intervalo dado.
Obs: a base deve ser com funções dadas em série.
Mas como podemos fazer isso??
Uma forma é verificarmos a seguinte solução geral para esse tipo de equação e a partir dela, fazermos manipulações de acordo com a equação diferencial que nos foi dada.
Agora bora resolver!!
Passo 2
Bom... aplicando a primeira e a segunda derivada na solução geral, temos:
Dessa forma, substituindo as soluções na equação original, temos:
Do primeiro termo da expressão, podemos substituir por para igualar os expoentes de :
E do segundo termo, ao multiplicar pelo somatório, temos:
Dessa forma, temos a seguinte expressão:
Passo 3
Ainda precisamos fazer com que todos os somatórios comecem do mesmo valor de .
Para isso, separamos os primeiros termos das séries que começam com e obtemos:
Também, temos:
Assim, substituindo os somatórios e unindo em seguida, temos:
Passo 4
Para que a equação fique válida, devemos ter o seguinte sistema:
Da primeira equação, temos que:
Da segunda equação, temos que:
Passo 5
Dessa forma, encontrando alguns valores de em função de e :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para índices pares:
- Para índices ímpares:
Dessa forma, observamos os seguintes padrões:
Juntando os dois resultados, temos a base resposta:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
