UFCG - Sem Campus - Equações Diferenciais Lineares - Provas - Teste 9 - AV3 - 2018.2 - Questão 2 - Alternativa a)
Mostre que o ponto é um ponto singular regular. Tente, em cada problema, encontrar soluções da forma . Mostre que existe apenas uma solução não-nula dessa forma para o problema e que não existem soluções não-nulas dessa forma para o problema .
Passo 1
Opa! Tudo bem com você?
Temos que neste enunciado nos é indicado um ponto que devemos mostrar como ponto singular e regular, para isso vamos ter que verificar as seguintes condições
e,
em que e são valores finitos. E, também temos que a equação diferencial dada no enunciado é da forma
em nossa alternativa temos que
ou seja, , e . Estas informações bastam para demonstrar a regularidade do ponto singular . O restante da questão está relacionado a propor uma solução da forma
que será única de acordo com o enunciado para esta alternativa! Para encontrar esta solução vamos substituir este formato na equação diferencial e verificar as condições para a existência e unicidade da solução! Então! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro para verificar que é singular regular, vamos escrever as condições de regularidade
Como temos um no denominador, e outro no numerador, podemos simplificá-lo, note que
Ou seja, a primeira condição é válida, uma vez que é finito! A segunda condição é bastante similar, temos que
Novamente, simplificando o no denominador com um dos no numerador, temos que
Como também é finito, ambas as condições são válidas e é um ponto singular regular! Vamos começar a trabalhar na solução agora!
Passo 3
Temos a seguinte equação diferencial
e, queremos uma solução da forma
Precisamos calcular a primeira derivada e a segunda derivada e encontrar as condições para que a equação diferencial seja obedecida. Como temos que a derivada é linear, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, ou seja, em um somatório como acima, podemos calcular a derivada como
Para calcular esta derivada usamos então a regra do tombo, ou seja, temos que
obtendo então que
ou seja, a segunda derivada é da forma
e, pela regra do tombo novamente, temos que
Com as derivadas em mãos vamos voltar à nossa equação diferencial e procurar as condições necessárias! Bora lá!
Passo 4
Usando ambas as derivadas em
temos que
Note que podemos simplesmente entrar com e como e , podemos escrever
É interessante evidenciarmos o máximo possível de termos acima para procurarmos uma recorrência, desta forma é interessante fazer a mudança no último somatório, de forma que
Note que use o fato que na mudança escolhida leva à e . Ainda iremos precisar reescrever um pouco a equação acima para identificar a nossa recorrência! Vem comigo!
Passo 5
Para fazer isso será necessário escrever os dois outros somatórios com , e evidenciar , no entanto, antes vamos primeiro expandir os primeiros somatórios de forma que os índices de todos as três somas sejam iguais, temos que
os dois primeiros termos são simplesmente zero, portanto, temos que
Da mesma forma, podemos escrever para o segundo somatório que
Usando tudo isso, temos que a nossa equação diferencial toma a seguinte forma
Evidenciando nossa soma e o termo com , temos que
Consegue agora identificar como ficará a nossa recorrência? Saca só!
Passo 6
Para que ambos os lados da equação obtida no final do passo anterior sejam iguais é preciso que , e que
Evidenciando temos que
Como temos que
Podemos evidenciar novamente na equação acima e escrever
E, finalmente, a relação de recorrência será
Vamos expandir alguns termos e ver se obtemos alguma relação a mais entre os coeficientes! Vamos lá!
Passo 7
Primeiro, temos que para
Agora, para , temos
já que encontramos que . Continuando para , temos que
Em que a recorrência permitiu escrever em termos de . Já começamos a ver algumas relações aqui, mas vamos abrir mais dois termos! Para , temos
Nulo novamente? Pois a recorrência faz com que voltamos até . Interessante, o que acontece agora com ? Temos que
Podemos escrever novamente em termos de e o sinal voltou a ser negativo! Ou seja, temos que apenas termos pares serão não nulos e o sinal irá alternar, sendo assim, a nossa recorrência pode sempre ser escrita como
Ou seja, a nossa solução é tal que
Com . Que é uma solução única! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Solução única