Determine as soluções geral e singular da EDO:
Passo 1
Essa EDO é uma de primeira ordem (pois só aparece a derivada de primeira ordem) e, além disso, se dermos uma organizada geral nela, ficamos com uma equação chamada de equação de Clairaut. Olha só:
Lembrando que a equação de Clairaut é da forma:
Passo 2
Ora, já sabemos qual o tipo da nossa EDO. Vamos resolvê-la então.
Primeiro, devemos derivar toda a EDO com respeito a .
Substituindo na equação de Clairaut, obtemos a solução geral:
Com .
Olhando agora para
Substituindo na equação de Clairaut
Manipulando, obtemos a solução singular:
Resposta
Solução geral
Com .
Solução singular
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre que 8 é uma solução para 7 . Sugestão: Derive ambos as lados de 7 com relação a x e considere dois casos. Use a diferenciação paramétrica para mostrar: d y d x = d y d t d x d t = t ,f ' ' ( t
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.23. x y ' - y = e y '
Quando R x = - 1 , a equação de Ricatti pode ser escrita como y ' + y 2 - Q x y - P x = 0 . Mostre que a substituição y = w ' w conduz à equação linear de segunda ordem w ' ' - Q x w ' - P w w = 0 (Qu
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.21. y = x . d y d x - d y d x 3
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.19. y = x y ' + 1 - ln y '