Considere o sistema de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais, dado por
Este sistema modela a interação entre duas populações, uma de presas e outra de predadores. Faça o gráfico de e , para
Passo 1
O exercício nos dá um sistema de EDOs de primeira ordem, composto de duas EDOs, modelando a interação entre duas populações e .
O enunciado pede para resolvermos o sistema de EDOs em um intervalo de integração de a , isto é, o intervalo de integração é .
Para resolvermos o sistema de EDOs, temos como condições iniciais e .
Portanto, temos todas as entradas para usarmos a função do MATLAB para encontrarmos a solução do sistema de EDOs.
O exercício pede para gerarmos o gráfico de e , plotadas usando o resultado da .
Passo 2
Vamos começar relembrando a função do MATLAB, que tem a estrutura:
Ela tem três entradas:
- : uma função representando o sistema de EDOs de primeira ordem, no caso:
- : intervalo de integração, normalmente no formato : o intervalo começa em e termina em . Neste exercício, , , logo ;
- : vetor com as condições iniciais de e em . Temos que e , por isso faremos que .
A função nos dará duas saídas: um vetor com valores de (começando em e terminando em , correspondendo ao nosso intervalo de integração) e uma matriz de duas colunas com os valores de e (iniciando em e terminando nos valores de e correspondentes a ), representando a solução do sistema de EDOs. A primeira coluna de corresponde a e a segunda coluna de corresponde a .
Em outras palavras, 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam de e para o intervalo de integração .
Vamos implementar tudo isso no MATLAB. Primeiramente, abra um script novo e crie a função . Vamos entrar com o sistema de equações, com as seguintes linhas de código:
Como queremos encontrar duas funções ( e ), a entrada da função é um vetor de dois elementos, o primeiro elemento representando e o segundo elemento, . Para facilitar a identificação de quem é quem na hora de digitar o sistema de EDOs, nas duas primeiras linhas da função, criei duas variáveis: e e indiquei que elas são o primeiro e o segundo elemento do vetor , respectivamente.
O vetor representando as derivadas das funções e , , também é um vetor de dois elementos, sendo que o primeiro representa e o segundo, . Por isso, na terceira linha da função, dizemos que é um vetor de zeros de dois elementos.
Finalmente, nas duas últimas linhas de código, temos o sistema de EDOs do enunciado.
Passo 3
Após concluir a função , vamos resolver o sistema de EDOs. Digite os seguintes comandos em um novo script do MATLAB (que deve sr salvo na mesma pasta onde foi salva a função):
A primeira linha cria o intervalo de integração .
A segunda linha cria as condições iniciais de e . Elas são representadas por um vetor de dois elementos, .
Em seguida, usamos a para resolver o sistema. Repare que no lugar de coloquei uma string . Essa string é o nome da função criada para representar o sistema de EDOs.
A saída de será um vetor , representando a variável independente , e uma matriz com duas colunas, a primeira representando e a segunda, . A saída representa a solução do sistema de EDOs e a partir delas que plotaremos os gráficos de e .
Passo 4
Para facilitar a identificação na hora de plotar e , inclua em seu script as duas linhas de código abaixo:
Na primeira linha, crio um vetor que armazena a primeira coluna de , que representa obtida pela integração numérica de .
Na segunda linha, faço a mesma coisa para : crio um vetor que armazena a segunda coluna de , que é gerada por .
Para plotar e , entre os seguintes comandos no script onde você usou a função :
Na primeira linha, usamos a função para gerar, em um mesmo gráfico, as curvas de e . O primeiro par plota em função de . Da mesma maneira, o segundo par plota em função de .
Na segunda linha, acrescentamos uma legenda ao gráfico, indicando que o par representa e o par representa .
Executando o programa, você terá o gráfico de e , para
Resposta
