Dado o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
, ,
- Reescreva o PVI como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem;
- Resolva o sistema de EDO e plote a função e sua primeira derivada.
Passo 1
O enunciado nos dá uma EDO de segunda ordem (tem uma segunda derivada na equação) e primeiro nos pede para convertê-la em um sistema de EDOs de primeira ordem.
Esta etapa é necessária para respondermos à letra b usando o MATLAB, que só resolve EDOs de primeira ordem. A letra b nos pede para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem construído na letra a e gerar gráficos da solução do sistema, que é a função , e de sua primeira derivada.
Resolveremos o sistema de EDOs criado na letra a com a função . O enunciado também nos deu todas entradas necessárias para usarmos ode45: um intervalo de integração e valores iniciais para a função e sua derivada primeira.
Passo 2
Vamos começar com a letra a. Para converter em um sistema de EDOs de primeira ordem, vamos dizer que:
Substituindo e na EDO original, temos:
Isolando na equação acima, temos:
Esta é a primeira equação do sistema de EDOs de primeira ordem.
Para construir a segunda equação do sistema, considere que:
Logo, o sistema de EDOs de primeira ordem construído a partir de é:
Pronto! Letra a resolvida.
Passo 3
A letra b pede para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem obtido na letra a. Para isto, usaremos a função do MATLAB, que tem a estrutura:
Ela tem três entradas:
- : uma função representando o sistema de EDOs de primeira ordem, no caso:
- : intervalo de integração, normalmente no formato : o intervalo começa em e termina em . Neste exercício, , , logo ;
- : vetor com as condições iniciais de e em .
Como , temos que e . Logo, .
A função nos dará duas saídas: um vetor com valores de (começando em e terminando em , correspondendo ao nosso intervalo de integração) e uma matriz de duas colunas com os valores de e (iniciando em e terminando nos valores de e correspondentes a ), representando a solução do sistema de EDOs. A primeira coluna de corresponde a e a segunda coluna de corresponde a .
Em outras palavras, 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam a função , na forma de , e sua primeira derivada, na forma de , para o intervalo de integração .
Bora implementar tudo isso no MATLAB. Abra um script novo e crie a função , com o sistema de EDOs obtido na letra a:
Como queremos encontrar duas funções ( e ), a entrada da função é um vetor de dois elementos, o primeiro elemento representando e o segundo elemento, . O vetor representando as derivadas das funções e , , também é um vetor de dois elementos.
Para resolver o sistema de EDOs, digite os seguintes comandos em um novo script do MATLAB:
A primeira linha cria o intervalo de integração .
A segunda linha cria as condições iniciais de e . Elas são representadas por um vetor de dois elementos, .
Em seguida, usamos a para resolver o sistema. Repare que no lugar de coloquei uma string . Essa string é o nome da função criada para representar o sistema de EDOs.
A saída de será um vetor , representando a variável independente, e uma matriz com duas colunas, a primeira representando e a segunda, . A saída representa a solução do sistema de EDOs.
Passo 4
Após obtermos a solução do sistema EDOs, podemos gerar as curvas de e de sua primeira derivada, , usando as saídas de . Como a 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam na primeira coluna de e os pontos que representam na segunda coluna de , consequentemente temos e .
Para plotar e , entre os seguintes comandos no script onde você usou a função :
Na primeira linha, usamos a função para gerar, em um mesmo gráfico, as curvas de e . O primeiro par pega a segunda coluna de , correspondendo a , isto é, a , e a plota em função de . Da mesma maneira, o segundo par pega a primeira coluna de , correspondendo a , isto é, a , e a plota em função de .
Na segunda linha, acrescentamos uma legenda ao gráfico, indicando que o par representa e o par representa .
Para obter o resultado da letra b, rode o programa.
