Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

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Enunciado

A equação de movimento para um pêndulo cuja base se move horizontalmente com uma aceleração a ( t ) é

L θ ¨ + g sin ⁡ θ = a ( t ) cos ⁡ θ

Suponha g = 9 ,   81   m / s 2 , L   =   1 m e θ ˙ ( 0 ) = 0 . Plote θ ( t ) para 0 ≤ t ≤ 10   s para os seguintes casos:

  1. aceleração constante a = 1   m / s 2 e θ 0 =   0,5   r a d ou θ 0 =   3   r a d
  2. aceleração linear com o tempo a ( t ) = 0,5 t   m / s 2 e θ 0 =   3   r a d

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO de segunda ordem representando o movimento de um pêndulo e primeiro nos pede para plotar θ ( t ) em duas condições distintas: com a ( t ) constante e a ( t ) linear com o tempo.

Antes de tudo, precisamos converter a EDO de segunda ordem em um sistemas de EDOs de primeira ordem, pois o MATLAB só resolve EDOs de primeira ordem.

Resolveremos o sistema de EDOs a função o d e 45 . O enunciado nos deu todas entradas necessárias para usarmos o d e 45 : um intervalo de integração ( 0 ≤ t ≤ 10   s ) e valores iniciais para θ ( t ) e sua derivada primeira.

Na letra a do exercício, implementaremos o d e 45 duas vezes, uma para cada condição inicial ( θ 0 =   0,5   r a d ou θ 0 =   3   r a d ). Já na letra b do exercício, implementaremos o d e 45 somente uma vez, pois somente é dada uma condição inicial ( θ 0 =   3   r a d ).

Passo 2

Antes de partir para o MATLAB, temos que converter a EDO de segunda ordem L θ ¨ + g sin ⁡ θ = a ( t ) cos ⁡ θ para um sistema de EDOs de primeira ordem. Para isto, vamos dizer que:

w 1 t = θ ˙ ( t )

w 2 t = θ ( t )

Substituindo w 1 e w 2 na EDO original, temos:

L w ˙ 1 + g sin ⁡ w 2 = a ( t ) cos ⁡ w 2

Isolando w ˙ 1 na equação acima, temos:

w ˙ 1 = a t cos ⁡ w 2 - g sin ⁡ w 2 L

Esta é a primeira equação do sistema de EDOs de primeira ordem.

Para construir a segunda equação do sistema, considere que:

w ˙ 2 t = θ ˙ ( t ) = w 1 t

Logo, o sistema de EDOs de primeira ordem construído a partir de L θ ¨ + g sin ⁡ θ = a ( t ) cos ⁡ θ é:

w ˙ 1 = a t cos ⁡ w 2 - g sin ⁡ w 2 L w ˙ 2 = w 1

Usaremos esse sistema para resolver a letra a e a letra b do exercício.

Passo 3

Com o sistema de EDOs de primeira ordem, podemos partir para o MATLAB. Vamos começar respondendo a letra a, que pede para plotarmos θ ( t ) para 0 ≤ t ≤ 10   s para aceleração constante a = 1   m / s 2 e duas consições iniciais distintas: θ 0 =   0,5   r a d e θ 0 =   3   r a d . Para isto, usaremos a função o d e 45 do MATLAB, que tem a estrutura:

[ t , w ]   =   o d e 45 ( E D O _ f u n , t _ i n t , w _ 0 )

Ela tem três entradas:

  • E D O _ f u n : uma função representando o sistema de EDOs de primeira ordem, no caso:
  • w ˙ 1 = a t cos ⁡ w 2 - g sin ⁡ w 2 L w ˙ 2 = w 1

  • t _ i n t : intervalo de integração, normalmente no formato [ t 0   t f ] : o intervalo começa em t 0 e termina em t f . Neste exercício, t 0 = 0 , t f = 10 , logo t _ i n t = 0 10 ;
  • w _ 0 : vetor com as condições iniciais de w 1 t = θ ˙ ( t ) e w 2 t = θ ( t )   em t 0 .

Temos que θ ˙ 0 = w 1 0 = 0 e duas condições iniciais para θ : θ 0 = w 2 ( 0 ) =   0,5   r a d e θ 0 = w 2 ( 0 ) =   3   r a d . Por isso, vamos implementar 𝑜𝑑𝑒 45 para dois w _ 0 diferentes na letra a: w _ 0 1 = 0 0,5 e w _ 0 2 = 0 3 .

Para ambos os casos, a função o d e 45 nos dará duas saídas: um vetor com valores de t (começando em t 0 e terminando em t f , correspondendo ao nosso intervalo de integração) e uma matriz w de duas colunas com os valores de w 1 e w 2 (iniciando em t 0 e terminando nos valores de w 1 e w 2 correspondentes a t f ), representando a solução do sistema de EDOs. A primeira coluna de w corresponde a w 1 , isto é, a θ ˙ ( t ) , e a segunda coluna de w corresponde a w 2 , ou seja, θ ( t ) .

Em outras palavras, 𝑜𝑑𝑒 45 nos retorna os pontos que representam a função θ ( t ) , na forma de w 2 ( t ) para o intervalo de integração t _ i n t . Logo, é a segunda coluna de w que vamos plotar.

Bora implementar tudo isso no MATLAB. Abra um script novo e crie a função E D O _ p e n d u l o , com o sistema de EDOs obtido no passo anterior:

Como queremos encontrar duas funções ( w 1 e w 2 ), a entrada w da função E D O _ p e d u l o é um vetor de dois elementos, o primeiro elemento representando w 1 e o segundo elemento, w 2 . O vetor representando as derivadas das funções w 1 e w 2 , d w d t , também é um vetor de dois elementos.

Note que a função E D O _ p e d u l o serve para resolver a letra a do exercício, pois adotamos a aceleração constante a = 1 .

Passo 4

Para resolver o sistema de EDOs para as duas condições iniciais da letra a, digite os seguintes comandos em um novo script do MATLAB:

A primeira linha cria o intervalo de integração t _ i n t = 0 10 .

As duas linhas seguintes se referem à condição inicial θ 0 =   0,5   r a d e as duas últimas linhas, a θ 0 =   3   r a d .

A segunda linha cria as condições iniciais de w 1 e w 2 para θ 0 =   0,5   r a d . Elas são representadas por um vetor de dois elementos, w _ 0 1 = 0 0,5 .

Em seguida, usamos a o d e 45 para resolver o sistema. Repare que no lugar de E D O _ f u n coloquei uma string ‘ E D O _ p e n d u l o ’ . Essa string é o nome da função criada para representar o sistema de EDOs.

A saída de o d e 45 para θ 0 =   0,5   r a d será um vetor t 1 , representando a variável independente, e uma matriz w 1 com duas colunas, a primeira representando w 1 e a segunda, w 2 . A saída representa a solução do sistema de EDOs para θ 0 =   0,5   r a d .

De maneira similar, a quarta linha cria as condições iniciais de w 1 e w 2 para θ 0 =   3   r a d , indicadas por w _ 0 2 = 0 3 .

A linha seguinte usa o d e 45 para resolver o sistema para θ 0 =   3   r a d . As saídas serão um vetor t 2 e uma matriz w 2 de duas colunas, a primeira representando w 1 e a segunda, w 2 . A saída representa a solução do sistema de EDOs para θ 0 =   3   r a d .

Passo 5

Após obtermos a solução do sistema EDOs para ambas as condiçõe inicias da letra a, podemos gerar as curvas de θ ( t ) para ambos os casos, usando as saídas de o d e 45 . A 𝑜𝑑𝑒45 nos retorna os pontos que representam w 1 ( t ) na primeira coluna de w 1 e w 2 e os pontos que representam w 2 ( t ) na segunda coluna de w 1 e w 2 . Sabendo que w 2 t = θ ( t ) e é θ ( t ) que o exercício nos pede para plotar, são as segundas colunas de w 1 e w 2 que usaremos para plotar o gráfico.

Para plotar θ ( t ) para uma acelerção constante com as duas condições iniciais distintas, entre os seguintes comandos no script onde você usou a função o d e 45 :

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para gerar um figura com o comando f i g u r e ( 1 ) . Esta figura terá o gráfico de θ ( t ) da letra a do exercício. Usamos esse comando para que os gráficos da letra a e b seja plotados em janelas diferentes.

Na segunda linha, usamos a função p l o t para gerar, em um mesmo gráfico, as curvas de θ ( t ) para θ 0 =   0,5   r a d e θ 0 =   3   r a d . O primeiro par t 1 , w 1 ( : , 2 ) se refere a θ 0 =   0,5   r a d e pega a segunda coluna de w 1 , correspondendo a θ ( t ) , e a plota em função de t 1 . Da mesma maneira, o segundo par t 2 , w 2 ( : , 1 ) é referente a θ 0 =   3   r a d e pega a segunda coluna de w 2 , também correspondendo a θ ( t ) , e a plota em função de t 2 .

Na terceira linha, acrescentamos uma legenda ao gráfico, indicando que o par t 1 , w 1 ( : , 2 ) se refere a a θ 0 =   0,5   r a d e o par t 2 , w 2 ( : , 1 ) se refere a a θ 0 =   3   r a d .

Para obter o gráfico da letra a, rode o programa:

Passo 6

A letra b pede para plotar θ ( t ) considerando uma aceleração linear com o tempo a ( t ) = 0,5 t   m / s 2 e θ 0 =   3   r a d . Para isto, também usaremos a função o d e 45 para resolver o sistema de EDOs de primeira ordem do passo 2, mas devemos montar uma nova função com o sistema de EDOs, considerando que a ( t ) varia com o tempo. Por isso, em um novo script, copie e cole a função criada no passo 3, alterando a variável a para a = 0,5 t :

Chamei essa nova função de E D O _ p e n d u l o _ b . Ele tem exatamente a mesma forma da anterior, a única diferença é que a variável a não é mais constante.

Após salvar a função E D O _ p e n d u l o _ b , no mesmo script onde você resolveu a letra a do exercício, implemente o d e 45 mais uma vez, mas para E D O _ p e n d u l o _ b :

A primeira linha cria as condições iniciais de w 1 e w 2 para θ 0 =   3   r a d . Elas são representadas por um vetor de dois elementos, w _ 0 b = 0 3 .

Em seguida, usamos a o d e 45 para resolver o sistema. Repare que no lugar de E D O _ f u n coloquei uma string ‘ E D O _ p e n d u l o _ b ’ , para resolver o sistema de EDOS com as condições da letra b. A saída de o d e 45 para a letra b do exercício será o vetor t b , representando a variável independente, e a matriz de duas colunas w b , a primeira representando w 1 e a segunda, w 2 .

Como w 2 = θ , é a segunda coluna de w b que vamos plotar.

Passo 7

Para plotar θ ( t ) para a letra b do exercício, adicione em seu script os comandos abaixo:

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para criar uma segunda figura, com o comando f i g u r e ( 2 ) . Desta forma, teremos os gráficos da letra a e da letra b em janelas diferentes.

Na segunda linha, usamos o comando p l o t para plotar θ ( t ) com aceleração linear com o tempo. Para isto, plotamos o par t b , w b ( : , 2 ) , que plota a segunda coluna de w b em função de t b .

Rode o programa e você terá o gráfico da solução da letra b do exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)