Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é:
Essa expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar? Avalie e .
Passo 1
Neste exercício, nós já temos o perfil de velocidades descrito e o enunciado pede para só conferirmos as condições de contorno. Mais tranquilo que o exercício anterior, não é mesmo?
Além disso, temos que avaliar as razões das espessuras de deslocamento () e de quantidade de movimento () sobre a espessura de perturbação ().
Então, vamos começar pelo mais simples: avaliar a coerência do perfil de velocidades proposto!
Lembre-se de que, na camada-limite, a velocidade do fluido em contato com a superfície é zero (condição de não-deslizamento):
Certinho! Agora, na região mais afastada, a tensão de cisalhamento é nula ():
É, até que esse cara sabe fazer bem um perfil, tudo certinho! ^^
Passo 2
Agora, vamos aplicar as definições que vimos de espessura de camada-limite!
Antes de começar, vamos propor uma troca de variável, tal que . Mas por que isso? Dê uma olhadinha no perfil de velocidades do enunciado. Não ficaria bem mais limpo e organizado se trocássemos todas as razões por ? Então, é isso que vamos fazer! ^^
Assim, ficamos com:
Bem melhor, não? Isso facilitará nossa vida adiante!
Para a espessura de deslocamento ():
Como é uma constante, podemos passar ela para dentro da derivada e ficamos com:
Olha só, aparece aquela nossa nova variável . Então, vamos reescrever em função dela:
Note que o limite de integração superior também muda, pois, se , então e, se , então .
Substituindo a expressão do perfil de velocidades, temos:
Ao integrarmos:
Logo:
Passo 3
Analogamente, para a espessura de quantidade de movimento ():
Fazendo a mudança de variáveis, temos:
Ao substituirmos a expressão do perfil:
Logo:
Resposta
Sim, o perfil proposto satisfaz as condições de contorno! E as razões entres as diferentes espessuras de camada-limite são dadas abaixo: