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Exercícios Resolvidos de Espessura de Camada-Limite

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Exercício 71234568

Enunciado

Avalie δ * / δ para cada um dos perfis de velocidade da camada-limite linear dados a seguir:

Linear: u U ∞ = y δ

Senoidal:   u U ∞ = s e n   π 2 y δ

Parabólico: u U ∞ = 2 y δ - y δ 2

Passo 1

Ei! Esse exercício é parecido com o anterior, porém! Agora queremos calcular a razão entre a espessura de deslocamento δ * e a espessura de perturbação δ para cada um dos tipos de camada-limite apresentados.

Vamos lembrar da definição de δ *

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U ∞ d y

Sim, é parecido com a espessura de quantidade de movimento θ, mas não é igual! Olha aí

θ = ∫ 0 δ u U ∞ · 1 - u U ∞ d y

Fique atento nas fórmulas. Combinado? o/ Voltando a espessura de deslocamento δ * . Dividindo pela espessura de perturbação δ

δ * δ = 1 δ ∫ 0 δ 1 - u U ∞ d y

Vamos fazer uma mudança de variáveis para nos facilitar na integração

η = y δ ⇒ d η = 1 δ d y

d y =   δ d η

P a r a   y   =   δ   →   η   =   1

Atualizando a integral

δ * δ = 1 δ ∫ 0 1 1 - u U ∞ δ d η

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u U ∞ d η

Estamos prontos para substituir os diferentes perfis de velocidade. No perfil linear:

u U ∞ = y δ = η

Substituindo na equação da espessura de camada-limite de deslocamento

δ * δ = ∫ 0 1 1 - η d η

δ * δ = ∫ 0 1 1   d η - ∫ 0 1 η   d η

δ * δ = η 0 1 - η 2 2 0 1

δ * δ = 1 - 1 2

Logo, a razão entre as espessuras no perfil linear é

δ * δ = 1 2 = 0,5

Show! Vamos para o próximo perfil de velocidades na camada-limite

Passo 2

Vamos analisar o perfil senoidal e escrever em função da nova variável η

u U ∞ = s e n   π 2 y δ = s e n   π 2 η

Substituindo na equação da espessura de deslocamento

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u U ∞ d η

δ * δ = ∫ 0 1 1 - s e n   π 2 η d η

δ * δ = ∫ 0 1 d η -   ∫ 0 1 s e n   π 2 η d η

δ * δ = η - cos ⁡ π 2 η π / 2 0 1

Essa é a relação para o perfil senoidal:

δ * δ = 1 - 2 π = 0,3634

Passo 3

Para terminar, vamos analisar o perfil parabólico e escrever em função da nova variável η

u U ∞ = 2 y δ - y δ 2 = 2 η - η 2

Substituindo na equação da espessura de deslocamento

δ * δ = ∫ 0 1 1 - u U ∞ d η

δ * δ = ∫ 0 1 1 - 2 η + η 2 d η

Integrando

δ * δ = η - η 2 + η 3 3 0 1

δ * δ = 1 - 1 + 1 3

Então, a relação entre as espessuras no perfil parabólico é

δ * δ = 1 3 ≈ 0 , 3 333

Resposta

Linear: δ * δ = 1 2 = 0,5

Senoidal:

δ * δ = 1 - 2 π ≈ 0,3634

Parabólico:

δ * δ = 1 3 ≈ 0,3333

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