Ar escoa na região de entrada de um duto quadrado, conforme mostrado. A velocidade é uniforme, U 0 = 30   m . s - 1 , e o duto tem área de 76   m m 2 . Em uma seção a 0,3   m a jusante da entrada, a espessura de deslocamento, δ * , em cada parede mede 0,9   m m . Determine a variação de pressão entre as seções 1 e   2 .

Passo 1

E aí, entendeu o problema? O enunciado nos pede para calcular a diferença de pressão entre os dois pontos. Mas por que há essa diferença? Chegou a pensar nisso?

Sabemos que pressão e velocidade estão correlacionados pela equação de Bernoulli:

p ρ + V 2 2 + g . z = c t e

Então, para que exista uma diferença de pressão entre 1 e 2 , significa dizer que há também uma diferença entre as velocidades médias dos pontos 1 e 2 . E você saberia explicar o porquê dessa diferença de velocidades?

Para isso, temos que lembrar da definição de espessura de deslocamento ( δ * ). Ela é a distância da qual a superfície deve ser deslocada, tal que o fluxo volumétrico real possa ser calculado por meio de um perfil uniforme (velocidades constantes).

Como nos foi dado o valor dessa espessura, podemos considerar o escoamento nesse duto como se ele fosse em um duto convergente, ou seja, cuja área diminui ao longo do escoamento:

Como a vazão é constante, sabemos que ao diminuir a área do escoamento, aumentamos a velocidade média do fluido e, consequentemente, diminuímos a pressão. Sendo assim, esperamos que Δ p < 0 .

Vamos conferir se isso condiz com o resultado?

Passo 2

Pela equação da conservação da massa, admitindo estado estacionário, temos que:

∫ S C ρ . V → . d A → = 0

Sendo assim:

∫ S 1 ρ . U 1 . d A 1 - ∫ S 1 ρ . U 2 . d A 2 = 0

Como as velocidades U 1 e U 2 são constantes:

ρ .   U 1 . A 1 = ρ .   U 2 . A 2

U 2 = U 1 . A 1 A 2

O cálculo das áreas será dado por:

A 1 = 76   m m 2

A 2 = 76   m m - 2 . ( 0,9   m m ) 2

Já sabemos que no início (ponto 1 ), a camada-limite ainda não se formou e a velocidade média do escoamento equivale à do fluido antes de entrar ( U 0 ) . Dessa maneira:

U 2 = 30   m . s - 1 . 76   m m 2 76   m m - 2 . ( 0,9   m m ) 2

U 2 = 31,5   m . s - 1

Passo 3

Pela equação de Bernoulli aplicada aos pontos 1 e 2 :

p 1 ρ + U 1 2 2 + g . z 1 = p 2 ρ + U 2 2 2 + g . z 2

Δ p ρ = p 2 - p 1 ρ = U 1 2 - U 2 2 2

Δ p = 1,2   k g . m - 3 2 . 30 m . s - 1 2 - 31,5 m . s - 1 2

Δ p = ~ - 55,4   P a

Olha que bacana! De fato, a diferença de pressão deu negativa como havíamos predito ao início!

Então aprendemos que: em dutos com contração, a velocidade média aumenta ao longo do escoamento e que, em regiões com maiores velocidades, observamos menores valores de pressão (para um determinado sistema com energia fixada).

Resposta

Δ p = ~ - 55,4   P a

Exercícios Resolvidos de Espessura de Camada-Limite

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