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Exercícios Resolvidos de Espessura de Camada-Limite

Ver Teoria
Exercício 81234567

Enunciado

Avalie θ/δ para cada um dos perfis de velocidade da camada-limite linear dados a seguir:

Linear: u U ∞ = y δ

Senoidal:   u U ∞ = s e n   π 2 y δ

Parabólico: u U ∞ = 2 y δ - y δ 2

Passo 1

O que queremos dessa vez? Queremos calcular a razão entre a espessura de quantidade de movimento (θ) e a espessura de perturbação (δ) para cada um dos tipos de camada-limite apresentados.

Vimos na teoria, a definição de θ

θ = ∫ 0 δ u U ∞ · 1 - u U ∞ d y

Dividindo pela espessura de perturbação

θ δ = 1 δ ∫ 0 δ u U ∞ · 1 - u U ∞ d y

A sacada aqui é uma pequena mudança de variáveis que vai facilitar as coisas

η = y δ ⇒ d η = 1 δ d y

d y =   δ d η

P a r a   y   =   δ   →   η   =   1

Atualizando a integral

θ δ = 1 δ ∫ 0 1 u U ∞ · 1 - u U ∞ δ d η

θ δ = ∫ 0 1 u U ∞ · 1 - u U ∞ d η

Agora vamos substituir os diferentes perfis de velocidade. No perfil linear:

u U ∞ = y δ = η

Substituindo

θ δ = ∫ 0 1 η · 1 - η d η

θ δ = ∫ 0 1 η   d η - ∫ 0 1 η 2   d η

θ δ = η 2 2 0 1 - η 3 3 0 1

θ δ = 1 2 - 1 3

Então, a razão entre as espessuras no perfil linear é

θ δ = 1 6 ≈ 0,1667

Passo 2

Analisando o perfil senoidal

u U ∞ = s e n   π 2 y δ = s e n   π 2 η

Substituindo na equação da espessura de quantidade de movimento

θ δ = ∫ 0 1 u U ∞ · 1 - u U ∞ d η

θ δ = ∫ 0 1 s e n   π 2 η · 1 - s e n   π 2 η d η

θ δ = ∫ 0 1 s e n   π 2 η - s e n   π 2 η 2 d η

Integrando seno ao quadrado por partes

θ δ = - 4   c o s π 2 η 2 π + s e n   π η - π η 2 π 0 1

θ δ = 2 π + - π 2 π

θ δ = 2 π - 1 2 = 0,1366

Encontramos a razão para o perfil senoidal. o/

Passo 3

Finalmente, para o perfil parabólico

u U ∞ = 2 y δ - y δ 2 = 2 η - η 2

Substituindo em θ δ = ∫ 0 1 u U ∞ · 1 - u U ∞ d η

θ δ = ∫ 0 1 2 η - η 2 · 1 - 2 η - η 2 d η

θ δ = ∫ 0 1 2 η - 5 η 2 + 4 η 3 - η 4 d η

Integrando

θ δ = η 2 - 5 3 η 3 + 4 4 η 4 - 1 5 η 5 0 1

θ δ = 1 - 5 3 + 1 - 1 5

Então, a relação entre as espessuras no perfil parabólico é

θ δ = 2 15 ≈ 0,1333

Resposta

Linear: θ δ = 1 6 ≈ 0,1667

Senoidal:

θ δ = 2 π - 1 2 ≈ 0,1366

Parabólico:

θ δ = 2 15 ≈ 0,1333

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