Um administrador do governo quer avaliar a proporção de aprovação da comunidade sobre determinado projeto. Para isso fez uma pesquisa de opinião selecionando ao acaso pessoas da população de interesse. Considerando favorável e desfavorável, temos então variáveis aleatórias iid , todas elas com distribuição de Bernoulli. Considere as quatro seguintes alternativas de estimador para :
- Qual é o viés (ou vício) de cada um desses estimadores?
- Expresse o erro quadrático média de cada um deles em função de . Ordene esses estimadores em termos de seus , e diga qual é o melhor de acordo com esse critério.
- Se os dados coletados foram:
Qual é a estimativa de para cada uma das quatro alternativas?
Passo 1
(a)
Temos variáveis aleatórias iid, todas com distribuição Bernoulli.
Bom lembrar que:
E temos quatro estimadores para e vamos calcular o viés de cada um.
A fórmula do viés é:
Onde são os estimadores que a gente tem.
A gente precisa então calcular primeiro de cada estimador.
Passo 2
Pra fazer isso a gente vai ter só que aplicar aquelas propriedades de esperança de uma combinação linear.
Vamos lá, um por um:
A gente sabe que:
Daí:
E aí o viés será:
Passo 3
Para :
Daí:
E o viés será:
Passo 4
Para :
E o viés:
Passo 5
Pra fechar, :
E o viés:
Viu? Não tem muito mistério, era só lembrar que a esperança de uma variável Bernoulli é e as propriedades da esperança.
Passo 6
(b)
Pra expressar o primeiro a gente tem que lembrar da fórmula:
A gente já sabe que todos os viés são zero, falta calcular as suas variâncias, e vamos ter:
De novo, vamos fazer um por um...
Para
Lembrando que .
E daí a gente tira o .
Passo 7
Para .
E daí:
Passo 8
Para :
E:
Passo 9
Fechando:
E:
Passo 10
Vamos ordená-los agora:
Colocando em ordem crescente, do menor para o maior ...
E o melhor estimador é aquele que tem o menor , logo é o .
Passo 11
(c)
Os dados coletados são:
Vamos ter que calcular de cada estimador.
Tranquilo... só você identificar o (se é zero ou um) e colocar nas fórmulas.