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Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Exercício 1012345678911121314

Enunciado

Estimador Não Tendencioso e EQM

Seja X uma variável aleatória com distribuição   N ( μ ,   σ ² ) , e seja ( X 1 ,   .   .   .   ,   X n ) uma amostra aleatória da variável X . Considere os seguintes dois estimadores da variância σ ² :

S ² = 1 n - 1 ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ²       e       σ ^ ² = 1 n ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² ,

em que X = 1 n ∑ i = 1 n X i . Sabe-se que S ² é um estimador não-viesado para σ ² , e que V a r ( S ² )   =   2 σ 4 n - 1 .

(a) Calcule o viés de σ ^ ² .

Passo 1

Letra a)

Lembrando a fórmula do viés:

B θ ^ = E θ ^ - θ

Aplicando para o nosso caso, teríamos:

B σ ^ ² = E σ ^ ² - σ ²

Mas a gente não tem a esperança do σ ^ ² ! E agora?

Aqui você tinha que ter uma sacada para ter a idéia de escrever σ ^ ² em função de S ² , pois sabemos mais sobre S ² do que sobre σ ^ ² . Pelas fórmulas dadas no enunciado:

S ² = 1 n - 1 ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² → ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² = S ² ( n - 1 )

σ ^ ² = 1 n ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² → ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² = n σ ^ ²

Logo:

n σ ^ ² = S ² ( n - 1 )

σ ^ ² = S ² ( n - 1 ) n

“Aplicando” esperança dos dois lados:

E ( σ ^ ² ) = E ( S 2 ) ( n - 1 ) n

Opa! Mas como S ² é um estimador não-viesado (ou o famoso não tendencioso) de σ ² , podemos afirmar que:

E S 2 = σ ²

E substituindo isso aí na nossa equação temos:

E ( σ ^ ² ) = σ ² ( n - 1 ) n

E agora para calcular o viés tuuudo se torna mais simples:

B ( σ ^ ² ) = E σ ~ 2 - σ ² = σ ² ( n - 1 ) n - σ ² = - 1 n σ ²

Resposta

Letra a)

B ( σ ^ ² ) = - 1 n σ ²

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