UFRJ – Probabilidade e Estatística P2 – 2020/2 – Questão 2
Suponha que o número de falhas de um determinado tipo de máquina ao longo de 10 anos de uso numa indústria seja uma variável aleatória que segue o modelo Poisson de taxa a ser estimada a partir de uma amostra aleatória de tamanho .
(a) Mostre que a média amostral é um estimador não viesado (não tendencioso) para .
(b) Utilizando a relação , calcule e .
(c) Considere agora o estimador para . Mostre que é viesado (viciado, tendencioso) e calcule seu viés (vício).
Passo 1
a) Nessa primeira letra aqui, temos um conjunto de variáveis aleatória de até .
Não dá pra saber a média nem o desvio padrão dessas variáveis! Mas todas seguem o modelo de Poisson.
Sendo assim, para variáveis, temos que a média amostral pode ser escrita como...
E se todas as v.as seguem o modelo Poisson, então todas se relacionam por uma taxa . Logo;
Logo, a amostra como um tudo tem a mesma taxa !
Passo 2
b) Bom! A gente sabe que...
Sendo assim, temos que...
Já é dado por...
Passo 3
c) Agora, temos que mostrar que é viciado...
Se liga! A gente tem que...
Rearranjando...
E substituindo...
Logo é viciado!
Obtemos ! Já o vício , é dado por...
Resposta