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Exercícios Resolvidos de Estimador Não Tendencioso e EQM

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Exercício 9123456781011121314

Enunciado

Estimador Não Tendencioso e EQM, PF, UFRJ, 2017.2, Questão 3

Seja X uma variável aleatória com distribuição   N ( μ ,   σ ² ) , e seja ( X 1 ,   .   .   .   ,   X n ) uma amostra aleatória da variável X . Considere os seguintes dois estimadores da variância σ ² :

S ² = 1 n - 1 ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ²       e       σ ^ ² = 1 n ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² ,

em que X = 1 n ∑ i = 1 n X i . Sabe-se que S ² é um estimador não-viesado para σ ² , e que V a r ( S ² )   =   2 σ 4 n - 1 .

(b) Compare os Erros Quadráticos Médios (EQM) dos estimadores S ² e σ ^ ² . Qual deles tem menor EQM?

Passo 1

Letra b)

Lembrando a fórmula do EQM:

E Q M θ ^ = V a r θ ^ + [ B ( θ ^ ) ] ²

Calculando para σ ^ ² :

E Q M σ ^ ² = V a r σ ^ ² + [ B ( σ ^ ² ) ] ²

O viés já temos! E pra calcular a variância, vamos pegar a equação que descobrimos que relaciona σ ^ ² e S ² :

σ ^ ² = S ² ( n - 1 ) n

E “aplicar” variância dos dois lados:

V a r ( σ ^ 2 ) = V a r ( S 2 ) ( n - 1 ) ² n ²

[OFF]Queee? Da onde saíram esses quadrados? Propriedade da variância! Lembram?

V a r a X = a ² V a r ( X )

Sendo a uma constante qualquer. No nosso caso, nosso a é o ( n - 1 ) n .[FIM DO OFF]

Ok, voltando a nossa expressão agora! O enunciado deu pra gente o valor de V a r ( S 2 ) , então:

V a r σ ^ 2 = V a r S 2 n - 1 2 n 2 = 2 σ 4 n - 1 × ( n - 1 ) ² n ² = 2 ( n - 1 ) σ 4 n ²

Agora aplicamos essa variância na fórmula do EQM:

E Q M σ ^ ² = V a r σ ^ ² + B σ ^ 2 2

E Q M σ ^ 2 = 2 n - 1 σ 4 n 2 + - 1 n σ 2 2

E Q M σ ^ 2 = ( 2 n - 1 ) n ² σ 4

Passo 2

Agora o EQM de S ² :

E Q M S ² = V a r S ² + B S 2 2

A variância de S ² foi dada no enunciado, e como S ² é um estimador não-viesado, seu viés vale zero! Então:

E Q M S ² = V a r S 2 = 2 n - 1 σ 4

E qual desses dois EQMs que calculamos é menor? Para qualquer n > 1 , vamos ter que:

( 2 n - 1 ) n ² σ 4 < 2 n - 1 σ 4

Já que o EQM de σ ^ 2 tem um n ² no denominador que vai sempre fazer essa fração ser um número menor que o EQM de S ² !

Resposta

Letra b)

σ ^ ²   t e m   m e n o r   E Q M

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