Seja uma v.a. com média e variância . Seja uma amostra aleatória de . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador para a média.
- Calcule o viés deste estimador.
- Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
- Ao comparar e , qual deles é mais indicado para estimar ? Justifique.
Passo 1
(a)
Lembra da fórmula do viés? Vamos aplicar para o caso de um estimador pra média.
Temos que calcular essa esperança aí.
E vamos aplicar as propriedades de combinação linear da esperança.
A esperança de , a gente conhece:
Daí fica:
Passo 2
E com isso, calculamos o viés.
Passo 3
(b)
Mais uma fórmula que você precisa lembrar ein, do erro quadrático médio...
Precisamos calcular a variância antes...
Aplicando as propriedades da variância agora:
E:
Fica então:
Passo 4
Daí a gente junta tudo de novo e calcula o erro quadrático...
Passo 5
(c)
Primeiro você precisaria saber o viés e o erro quadrático média da média pra poder comparar, que são:
Se você comparar com os de , vai ver que... como o viés de é zero (o que indica que é um estimador não tendencioso) e o de não é zero (estimador tendencioso).
E comparando a partir do erro quadrático médio, você tem que:
E quanto maior o erro quadrático médio, pior é o estimador.
Ou seja, o é o melhor estimador.