Considere uma amostra aleatória de uma v.a. com distribuição normal. Mostre se a variância amostral é um estimador tendencioso ou não para a variância populacional .
Lembrar que:
Passo 1
Primeira coisa... lembrar o critério pra um estimador ser tendencioso ou não.
A esperança de um estimador não tendencioso é igual ao valor do parâmetro estimados.
O valor do parâmetro que no caso é a variância populacional é .
A gente vai então ter que calcular a esperança do e ver se dá igual a . Pegou a ideia?
Passo 2
Vamos calcular então .
Até aqui beleza? Só tirei o que tava constante pra fora.
Passo 3
Vamos calcular essa parte agora separado...
Apliquei uma propriedade da esperança..
Vendo por partes.. vamos analisar primeiro o .
A gente sabe que..
Essa é uma relação entre a esperança e a variância de uma variável.
E esses valores a gente já conhece.. (dá uma olhada lá no conteúdo do capítulo)
Então..
Passo 4
Vamos analisar agora
Se fosse só , a gente faria assim..
A gente sabe que e que .
Ai ficaria..
Como temos o somatório de valores de , basta multiplicarmos isso que encontramos por .
Passo 5
Vamos juntar agora e tirar nossa conclusão.
Substituindo pelos valores que a gente encontrou.
Multiplicando o pra dentro do colchete.
Colocando em evidência o .
Opa!! E agora? Esse é o momento em que você já não sabe mais o que está fazendo haha..
O que a gente acabou de descobrir é que a esperança do é igual ao valor do parâmetro que a gente queria .
Isso quer dizer que é um estimador não tendencioso para a variância populacional .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)