Sejam a média de uma amostra aleatória de dimensão extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância , e a média de uma amostra aleatória de dimensão , independente da primeira, extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância . Mostre que:
(a) Se é um estimador não viesado de µ.
(b) A variância do estimador em (a) é mínima quando
Passo 1
(a) Vamos lembrar de duas coisas:
- Um estimador de um parâmetro é não-viesado se
- Se e são v.a’s e e são números reais, então
Passo 2
Então o que a gente tem que mostrar é que a esperança desse estimador que ele deu é exatamente o parâmetro que ele quer estimar:
Calculando a esperança então
Passo 3
Agora a gente tem que lembrar que a média amostral é sempre um estimador não-viesado para a média populacional:
; e
Passo 4
Substituindo na nossa fórmula:
Assim, a esperança do nosso estimador deu exatamente
Passo 5
(b) Antes de começar a resolver vamos só lembrar uma propriedade da variância: Se e são v.a’s independentes e e são números reais, então
Passo 6
Agora vamos calcular a variância desse estimador e ver o que acontece:
Passo 7
Lembrando agora que se uma população tem variância então a média amostral tem variância .
Substituindo então na nossa fórmula:
Passo 8
Essa última expressão é nossa variância. Queremos agora achar o valor de que minimiza essa variância. Portanto o que a gente tem que fazer é derivar (em relação a ) e igualar a zero!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)