Estimador e Erros
Suponha que a variável aleatória
siga distribuição Exponencial com parâmetro desconhecido, e tome uma amostra aleatória de . Denote por a mediana de (lembre que , com a função de densidade da v.a. ), e seja um estimador de , em que denota a média amostral de .
- é um estimador não-tendencioso para ? Por quê?
- Obtenha o erro médio quadrático de como estimador de .
Passo 1
(a)
Um estimador é não-tendencioso quando o valor esperado é igual o valor do parâmetro.
Primeiro a gente tinha que lembrar que:
é a função que representa a variável . E que é igual a:
Nesse exercício a gente tem uma estimação para a mediana representada por . Maaas, você precisaria lembrar que a mediana representa metade do valor total da função , ou seja:
Passo 2
Resolvendo a integral anterior.
Resolvendo a integral separadamente, por substituição simples:
Resubstituindo e substituindo os intervalos da integral no lugar de :
Agora podemos igualar esse resultado ao :
Passo 3
O estimador que a gente tem é:
Vamos ver qual é o valor esperado pra ele:
A variável , nesse caso, tem esperança igual a . Lembra disso? Tá lá no início da teoria, na parte de probabilidade. Então:
A gente conclui, então, que o valor esperado realmente é igual ao valor do parâmetro mediana. Por isso, o estimador pode ser considerado não-tendencioso.
Passo 4
(b)
Lembrando novamente também que
Resposta
É um estimador não-tendencioso