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Exercícios Resolvidos de Força hidrostática

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Exercício 512346

Enunciado

UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2008.2, Questão 4

Seja R > 0 . Qual é o momento de inércia Θ R do sólido obtido por rotação da curva

y = 1 1 + x 2 4

Em torno do eixo O x   - R ≤ x ≤ R , supondo sua densidade homogênea ρ = 1 π .

Determinar lim R → ∞ ⁡ Θ R .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... Para determinar o momento de inércia Θ ( R ) do sólido obtido por rotação da curva y = 1 1 + x 2 4 em torno do eixo O x , vamos utilizar o Teorema de Steiner.

Mas que Teorema é esse???

Esse teorema nos permite calcular o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo paralelo ao eixo original.

Nesse sentido, sabemos que o momento de inércia Θ ( R ) é dado por:

Θ R = ∫ - R R y 2 ρ d x

Agora vamos substituir o y !!

Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, substituindo o y e ρ , temos:

Θ R = ∫ - R R 1 1 + x 2 4 2 * 1 π * d x ∴

Resolvendo a integral, temos:

Θ R = 1 π ∫ - R R 1 1 + x 2 4 2   d x ∴

Fazendo uma substituição trigonométrica, temos:

x = tan ⁡ t ∴ d x = sec 2 ⁡ ( t ) d t

Aplicando na Integral, temos:

Θ R = 1 π ∫ - R R 1 1 + tan 2 ⁡ t 4 2   sec 2 ⁡ ( t ) d t ∴

Usando a identidade trigonométrica 1   +   t a n 2 ( t )   =   s e c 2 ( t ) , podemos simplificar a integral:

Θ R = 1 π ∫ - R R 1 sec 2 ⁡ ( t ) 4 2   sec 2 ⁡ ( t ) d t ∴

Θ R = 1 π ∫ - R R 1 sec ⁡ t *   sec 2 ⁡ ( t ) d t ∴

Θ R = 1 π ∫ - R R sec ⁡ t d t ∴

Como a integral da secante já é conhecida, então temos:

Θ R = 1 π ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t R - R ∴

Substituindo t , temos:

Θ R = 1 π ln ⁡ sec ⁡ arctan ⁡ x + tan ⁡ arctan ⁡ x R - R ∴

Aplicando os limites de integração:

Θ R = 1 π ln ⁡ sec ⁡ arctan ⁡ R + tan ⁡ arctan ⁡ R - ln ⁡ sec ⁡ arctan ⁡ - R + tan ⁡ arctan ⁡ - R ∴

Θ R = 1 π * ln ⁡ 1 + R 2 + R 1 + R 2 - R

Passo 3

Agora, vamos determinar o seguinte limite:

lim R → ∞ ⁡ Θ R

Substituindo o momento de inércia, encontramos:

lim R → ∞ ⁡ 1 π * ln ⁡ 1 + R 2 + R 1 + R 2 - R ∴

Dividindo o numerador e o denominador por R , temos:

lim R → ∞ ⁡ 1 π * ln ⁡ 1 + R 2 R + 1 1 + R 2 R - 1 ∴

Agora, observamos que à medida que R tende ao infinito, os termos 1 + R 2 R tendem a 1 , já que a raiz quadrada cresce proporcionalmente a R , enquanto R permanece constante no denominador.

Portanto, temos:

lim R → ∞ ⁡ 1 π * ln ⁡ 1 + 1 1 - 1 ∴

lim R → ∞ ⁡ 1 π * ln ⁡ 2 0 ∴

Dessa forma, como a divisão por zero é uma indeterminação, então o limite não existe!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Θ R = 1 π * ln ⁡ 1 + R 2 + R 1 + R 2 - R

O limite não existe

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