Determinar o diâmetro da partícula que sedimenta com velocidade , em cada um dos dois casos abaixo:
- Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas inferior a .
- Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas é .
Propriedades físicas do fluido: e
Propriedades físicas das partículas: e
Passo 1
Lembra que quanto mais concentrada uma suspensão, menor fica a velocidade terminal das partículas? É isso que vamos trabalhar nessa questão. O enunciado fixa uma velocidade, , e altera a concentração na suspensão. Nosso objetivo é dizer qual é o diâmetro de partícula que vai ter essa velocidade em cada caso.
Na letra a), , daí nos desprezamos a correção do efeito de concentração, porque vai ser muito pequena. (Lembra lá da teoria que só precisamos fazer a correção quando ). Já na b), como , precisamos corrigir! Nesse segundo caso, foi dado , que equivale a (lembra que usamos base unitária nas contas e não porcentagem).
Vou usar o CGS, daí, já vou listar os dados convertendo quando necessário:
Não sabemos o regime de escoamento e não queremos ficar iterando, mas qual caminho seguir: ?
Repara que temos tudo para usar o então é por ele que vamos : )
Passo 2
- Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas inferior a .
- Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas é .
Calculando :
Agora, preciso usar isso pra calcular o :
Falta calcular e :
Daí:
Aplicando a formula de :
Convertendo pra , pra deixar o número mais apresentável haha:
Passo 3
Sabemos que quanto mais concentrada uma suspensão, menor fica a velocidade terminal das partículas. Também sabemos que quanto maior a partícula, maior a velocidade terminal dela. Agora, bora juntar essas duas coisas: pensa em uma certa velocidade; conforme você aumenta , você diminui a velocidade terminal das partículas e maior é o diâmetro da partícula que vai ter essa dada velocidade que você fixou. Então, aqui nesse item, já sabemos que vamos achar um diâmetro maior que no item a).
Mas a questão não é teórica, precisamos fazer as contas. O grande lance é que essa velocidade, no item b), é a , já que temos que considerar a concentração (Observação: no item a) dissemos que já que desprezamos o efeito da concentração).
Vamos precisar achar , que é a velocidade que podemos relacionar com o diâmetro. Usando a expressão desenvolvida por Richardson e Zaki:
Em que o valor de do é calculado de forma diferente dependendo do :
Com sendo o Reynolds calculado supondo que a esfera está isolada.
Mas não temos : ( Daí precisamos calcular o . Vamos usar as correlações de Coelho e Massarani, que supõem que a partícula está isolada (ou seja, supõem que esse é o e nos retornam ). Novamente, usamos:
Repara que não mudamos nenhum valor que vamos jogar na fórmula, em relação ao item a), daí o valor é o mesmo:
e só dependem da morfologia (mais especificamente, da esfericidade), que não foi alterada. Daí:
e
Calculando
Novamente, não alteramos nenhum valor em relação ao item anterior:
Ou seja, achamos o valor de por:
Fazendo a correção:
Passo 3
Agora, só falta relacionar com . Vamos ter que, novamente usar .
Finalmente:
Passando pra micra:
Resposta
a)
b)