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Exercícios Resolvidos de Força Resistiva

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Exercício 4123567

Enunciado

Um teste é realizado para verificar a influência do tipo de fluido (água e óleo diesel) na velocidade de sedimentação de dada partícula de barita ρ S = 2,89   g / c m 3 . Para tal, preenche-se 15   c m de altura de uma proveta com o respectivo líquido, larga-se a partícula do topo da superfície do líquido e mede-se o tempo que a partícula necessita para atingir o fundo da proveta. Sabendo-se que a partícula de barita tem a forma de um cilindro equilátero (diâmetro igual à altura) com 70   μ m de altura, calcule o tempo transcorrido até a partícula alcançar o fundo da proveta (despreze a fase acelerada do movimento).

Dados:

  • Água: ρ = 1   g / c m 3 , μ = 1,00   c P
  • Óleo diesel: ρ = 0,82   g / c m 3 , μ = 4,62   c P

    • Passo 1

    Nessa questão, o enunciado diz que alguém soltou uma partícula duas vezes na superfície de um liquido preenchendo uma proveta. Em cada caso, ele trocou o líquido que estava na proveta e viu qual era o tempo necessário pra partícula chegar no fundo. O enunciado pede pra gente calcular esses, desprezando a fase acelerada do movimento, ou seja, considerando v = v t desde o início.

    Para calcular esse tempo, vamos precisar determinar a velocidade terminal em cada caso e lembrar da definição física de velocidade:

    V e l o c i d a d e = C o m p r i m e n t o   p e r c o r r i d o t e m p o   g a s t o = ∆ L ∆ t

    O comprimento percorrido é a altura da proveta, ∆ L = 15   c m . A velocidade precisamos calcular e, para isso, vamos usar as correlações de Coelho e Massarani pra não ter que ficar iterando. Ainda não sabemos quais vamos usar, então vou listar todas aqui para irmos avaliando, ok?

    C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

    C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

    C D = 24 k 1 R e p 0,85 + k 2 0,85 1,18

    R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

    R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77

    k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065

    k 2 = 5,31 - 4,88 Φ

    Repara que o enunciado deu as características da morfologia da partícula, mas não deu direto nem o diâmetro equivalente e nem a esfericidade. Bora calcular, lembrando que o diâmetro equivalente que vamos usar é o d V , como vimos lá no tópico de velocidade terminal.

    V = b a s e * a l t u r a = π 4 * D 2 * D = π 4 * D 3

    Aplicando a definição de d V :

    V p a r t í c u l a = π 6 * d V 3 = π 4 * D 3

    d V 3 = 3 2 * D 3

    d V = D * 3 2 3

    E o enunciado dá que D = 70   μ m . Daí:

    d V = 70   μ m * 3 2 3 = 80,13   μ m

    Agora só falta a esfericidade e teremos todos os dados pra ir pra Coelho e Massarani.

    Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

    Φ = π * ( d V ) 2 á r e a   d a   b a s e + á r e a   d o   t o p o + á r e a   l a t e r a l

    Φ = π * ( d V ) 2 π 4 * D 2 + π 4 * D 2 + π * D * D

    Jogando os valores:

    Φ = 0,87

    Listando tudo que temos: ρ S , d V ,     Φ e ρ e μ para cada um dos meios. Precisamos calcular v t .

    Vou primeiro fazer os cálculos pra água e depois pro óleo.

    Passo 2

  • Água: ρ = 1   g / c m 3 , μ = 1,00   c P

    • Repara que temos d   e Φ , mas queremos v t . Daí, vamos usar C D R e p 2 .

    C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

    Vou trabalhar com o CGS. Preciso converter, então, o diâmetro e a viscosidade para o CGS:

    d V = 80,13   μ m = 80,13 * 10 - 6   m = 80,13 * 10 - 4 * 10 - 2   m = 80,13 * 10 - 4   c m

    μ = 1,00   c P = 1,00 * 10 - 2   P

    E Poise P é a unidade de viscosidade do CGS. Daí:

    C D R e p 2 = 4 * 2,89 - 1 * 1 * 981 * ( 80,13 * 10 - 4 ) 3 3 * ( 1,00 * 10 - 2 ) 2 = 12,71

    Agora, a partir de C D R e p 2 , podemos obter R e p por:

    R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

    Mas repara que, primeiro, precisamos calcular k 1 e k 2 :

    k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = , 0843 *log ⁡ 0,87 0,065 = 0,95

    k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 5,31 - 4,88 * 0,87 = 1,06

    Jogando tudo na fórmula pra R e p :

    R e p = 24 0,95 * 12,71 1,2 + 1,06 12,71 0,6 - 0,83 = 0,467

    Agora, usamos a definição de R e p para achar v t :

    R e p = ρ * v t * d μ

    0,467 = 1 * v t * 80,13 * 10 - 4 1,00 * 10 - 2

    Repara que eu joguei tudo no CGS, então vamos achar v t no CGS também. Cuidado com isso na hora da prova, tá? Vê se as unidades estão todas no mesmo sistema de unidades.

    v t = 0,58   c m / s

    Daí:

    V e l o c i d a d e = ∆ L ∆ t

    0,58 c m s = 15   c m ∆ t

    ∆ t ≈ 26   s

    Passo 3

  • Óleo diesel: ρ = 0,82   g / c m 3 , μ = 4,62   c P

Novamente, vamos ter que usar   C D R e p 2 e, novamente, vou escolher trabalhar no CGS. Daí bora converter essa viscosidade aí:

μ = 4,62   c P = 4,62 * 10 - 2   P

Aplicando C D R e p 2 :

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2 = 4 * 2,89 - 0,82 * 0,82 * 981 * ( 80,13 * 10 - 4 ) 3 3 * ( 4,62 * 10 - 2 ) 2 = 0,535

Agora, obtemos R e p :

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Não alteramos a nossa partícula, então k 1 e k 2 permanecem os mesmos: k 1 = 0,95 e k 2 = 1,06 .

R e p = 24 0,95 * 0,535 1,2 + 1,06 0,535 0,6 - 0,83 = 2,125 * 10 - 2

Aplicando a definição de R e p :

R e p = ρ * v t * d μ

Não esquece que mudamos o fluido! Altera densidade e viscosidade aí hein!

2,125 * 10 - 2 = 0,82 * v t * 80,13 * 10 - 4 4,62 * 10 - 2

v t = 0,149   c m / s

PAUSA: Repara que só o que mudamos de um experimento para o outro foi o fluido e teve uma diferença grande em v t ; realmente faz diferença.

Voltando:

V e l o c i d a d e = ∆ L ∆ t

O ∆ L   é o mesmo, 15   c m .

0,149 c m s = 15   c m ∆ t

∆ t = 100,7   s

Resposta

∆ t á g u a ≈ 26   s

∆ t ó l e o = 100,7   s