Considere que são conhecidos dois pares ordenados, ( 2 ,   5 ) e ( 1 ,   2 ) . Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:

  1. 2 x + 5
  2. x - 3
  3. x + 2
  4. 3 x - 1
  5. 3 x + 7

Passo 1

FALA AÍÍ!! Aqui vamos utilizar a forma de Lagrange para determinar a função!!

Repare que no enunciado é dado dois pares ordenados. Ou seja, temos dois pontos. Isso significa que temos dois nós, mas o grau do polinômio é 1. Então uma regrinha legal de marcar é que o grau de polinômio sempre vai ser n ú m e r o   t o t a l   d e   p o n t o s   - 1 , ou seja, se temos n pontos, o polinômio será de grau n - 1 . Beleza?!

Como temos 2 nós de interpolação, nosso polinômio será de grau 1 ... E definindo x 0 = 2 ,   x 1 = 1 , temos que o nosso polinômio vai ter essa carinha aqui:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1

Onde:

y 0 = f x 0 = 5

y 1 = f x 1 = 2

Beleza?!

Passo 2

A próxima coisa importante para se fazer é analisar que termos nós temos e como montar os interpoladores de Lagrange. Seguindo a fórmula geral:

L k x = x - x 0 x - x 1 … x - x k - 1 x - x k + 1 … x - x n x k - x 0 x k - x 1 … x k - x k - 1 x k - x k + 1 … x k - x n

Veja bem, nós temos nesse caso :   x 0   e   x n = x 1 . Isso significa que temos que montar L 0   e   L 1 .

Podemos pensar da seguinte forma:

Quem manda no L 0 é o grau 0, então x 0 fica no quociente e manda sempre subtrair os outros termos. E ele nuuuuuunca vai aparecer em cima. Já o outro ponto x 1 aparece em cima e embaixo. Fica assim:

L 0 = x - x 1 x 0 - x 1

Substituindo os valores, temos

L 0 = x - 1 2 - 1 = x - 1

Beleza?!

Da mesma forma, quem manda no L 1 é o grau 1, então x 1 fica no quociente e manda sempre subtrair os outros termos. E ele nuuuuuunca vai aparecer em cima. Já o outro ponto x 0   aparece em cima e embaixo. Fica assim:

L 1 = x - x 0 x 1 - x 0

Substituindo os valores,

L 1 = x - 2 1 - 2 = 2 - x

Show de bola?!

Passo 3

Agora juntamos tudo no polinômio:

p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1

p 1 x = 5 x - 1 + 2 2 - x

Arrumando, temos

p 1 x = 5 x - 5 + 4 - 2 x = 3 x - 1

Ou seja, nosso polinômio interpolador é

p 1 x = 3 x - 1

Logo, nossa resposta é a letra D!

Show de bola?!

Resposta

L e t r a   D

Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange