Sabendo-se que f 0.81 = 16.9 , f 0.83 = 17 . 6 , f 0.86 = 18.5   e f 0.87 = 18.8 , calcule um valor aproximado de f 0.84 , usando polinômio interpolador de Lagrange de grau n = 2 .

Passo 1

Para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 2 vamos usar os pontos:

x 0 = 0.81

x 1 = 0.83

x 2 = 0.86

Show de bola?!

Temos então que:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 ,

onde:

y 0 = f x 0 = 16.9

y 1 = f x 1 = 17.5

y 2 = f x 2 = 18.5

Beleza?! Precisamos então calcular L o , L 1   e   L 2 !

Passo 2

L 0 = x - x 1 x - x 2 x 0 - x 1 x 0 - x 2

Substituindo os valores, temos

L 0 = x - 0.83 x - 0.86 0.81 - 0.83 0.81 - 0.86 = 1000 x 2 - 1690 x + 713.8

Para L 1 :

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2

Substituindo os valores, temos

L 1 = x - 0.81 x - 0.86 0.83 - 0.81 0.83 - 0.86 = - 1666.66667 x 2 + 2783.33333 x - 1161

Da mesma forma, para L 2

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 0.81 x - 0.83 0.86 - 0.81 0.86 - 0.83 = 666.66667 x 2 - 1093.33333 x + 448.2

Passo 3

Logo, substituindo tudo no polinômio

p 2 x = 16.9 ( 1000 x 2 - 1690 x + 713.8 ) + 17 . 6 - 1666.66667 x 2 + 2783.33333 x - 1161 + 18.5 ( 666.66667 x 2 - 1093.33333 x + 448.2 )

Simplificando, teremos

p 2 x = 6 x 2 + 21.201 x - 4.16531

Substituindo 0.84 no polinômio:

p 2 0.84 = 17.8771

Resposta

p 1 0.84 = 17.8783

Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange