Para a função f x = sin ⁡ π x , sejam x 0 = 1 , x 1 = 1.25 e x 2 = 1.6 . Encontre a função de interpolação de grau 1 para aproximar f 1.4 .

Passo 1

Bora laáá!! Antes de mais nada precisamos lembrar de uma regrinha legal que diz que o grau do polinômio sempre vai ser n ú m e r o   t o t a l   d e   p o n t o s   - 1 , ou seja, se temos n pontos, o polinômio será de grau n - 1 . Beleza?!

Assim, aqui como queremos encontrar uma função de interpolação de grau 1, vamos precisar de dois pontos! Então, para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos:

x 0 = 1.25

x 1 = 1.6

pois estão mais próximos de 1.4 !!! Beleza?!

Passo 2

A próxima coisa importante para se fazer é analisar que termos nós temos e como montar os interpoladores de Lagrange. Seguindo a fórmula geral:

L k x = x - x 0 x - x 1 … x - x k - 1 x - x k + 1 … x - x n x k - x 0 x k - x 1 … x k - x k - 1 x k - x k + 1 … x k - x n

Veja bem, nós temos nesse caso :   x 0   e   x n = x 1   . Isso significa que temos que montar L 0   e   L 1 . Show de bola?!

Temos então que:

p 1 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 ,

onde:

y 0 = sin ⁡ 1.25 π = - 0.70711

e

y 1 = sin ⁡ 1.6 π = - 0.95106

Falta então encontrar os valores de L 0   e   L 1 :

L 0 = x - x 1 x 0 - x 1 = 1.6 - x 0.35

Da mesma forma,

L 1 = x - x 0 x 1 - x 0 = x - 1.25 0.35

Agora é só substituir os valores:

p 1 x = 0.16414 - 0.697 x

Beleza?! Terminamos aqui?! NÃÃÃÃO!!

Passo 3

No enunciado é pedido para calcularmos f ( 1.4 ) ! Ou seja, precisamos substituir x = 1.4 no polinômio que encontramos! Assim,

p 1 1.4 = - 0.81166

Resposta

p 1 1.4 = - 0.81166

Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange