Para a função f x = sin ⁡ π x , sejam x 0 = 1 , x 1 = 1.25 e x 2 = 1.6 . Encontre a função de interpolação de grau 2 para aproximar f 1.4 .

Passo 1

Bora laáá!! Antes de mais nada precisamos lembrar de uma regrinha legal que diz que o grau do polinômio sempre vai ser n ú m e r o   t o t a l   d e   p o n t o s   - 1 , ou seja, se temos n pontos, o polinômio será de grau n - 1 . Beleza?!

Assim, aqui como queremos encontrar uma função de interpolação de grau 2, vamos precisar de três pontos! Então, para encontrar o polinômio de Lagrange de grau 1 vamos usar os pontos:

x 0 = 1

x 1 = 1.25

x 2 = 1.6

Show de bola?!

Passo 2

A próxima coisa importante para se fazer é analisar que termos nós temos e como montar os interpoladores de Lagrange. Seguindo a fórmula geral:

L k x = x - x 0 x - x 1 … x - x k - 1 x - x k + 1 … x - x n x k - x 0 x k - x 1 … x k - x k - 1 x k - x k + 1 … x k - x n

Nesse caso nós temos temos :   x 0 ,   x 1   e   x n = x 1   . Isso significa que temos que montar L 0 ,   L 1 e   L 2 . Show de bola?!

Nosso polinômio então terá a seguinte carinha

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2 ,

onde:

y 0 = sin ⁡ π = 0

y 1 = sin ⁡ 1.25 π = - 0.70711

y 2 = sin ⁡ 1.6 π = - 0.95106

Repare que como o y 0 foi zerado não precisamos nos preocupar em calcular L 0 !

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2 = x - 1 x - 1.6 1.25 - 1 1.25 - 1.6 = - 11.4286 x 2 + 29.7143 x - 18.2857

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - 1 x - 1.25 1.6 - 1 1.6 - 1.25 = 4.7619 x 2 - 10.7143 x + 5.95238

Agora é só substituir os valores:

p 2 x = 3.55242 x 2 - 10.8213 x + 7.26893

Beleza?! Terminamos aqui?! NÃÃÃÃO!!

Passo 3

No enunciado é pedido para calcularmos f ( 1.4 ) ! Ou seja, precisamos substituir x = 1.4 no polinômio que encontramos! Assim,

p 2 1.4 = - 0.91819

Resposta

f 1.4 = - 0.91819

Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange