Utilize a forma de Lagrande para determinar o polinômio interpolador para os pontos

Passo 1

OPA! Vamos láá!! Aqui vamos utilizar a forma de Lagrange para determinar o polinômio!! Então, a primeira coisa que precisamos fazer é analisar o número de i presentes na função dada.

No caso temos três pontos i = 0,1   e   2 . Isso significa que temos TRÊS NÓS, mas o grau do polinômio é 2. Então uma regrinha legal de marcar é que o grau de polinômio sempre vai ser n ú m e r o   t o t a l   d e   p o n t o s   - 1 , ou seja, se temos n pontos, o polinômio será de grau n - 1 . Beleza?!

Como temos 3 nós de interpolação, nosso polinômio será de grau 2 ... E definindo x 0 = - 1 ,   x 1 = 0 e x 2 = 1 , temos que o nosso polinômio vai ter essa carinha aqui:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2

Onde:

y 0 = f x 0 = 6

y 1 = f x 1 = 1

y 2 = f x 2 = 0

Beleza?!

Passo 2

A próxima coisa importante para se fazer é analisar que termos nós temos e como montar os interpoladores de Lagrange. Seguindo a fórmula geral:

L k x = x - x 0 x - x 1 … x - x k - 1 x - x k + 1 … x - x n x k - x 0 x k - x 1 … x k - x k - 1 x k - x k + 1 … x k - x n

Veja bem, nós temos nesse caso :   x 0 ,   x 1   e   x n = x 2 . Isso significa que temos que montar L 0 ,   L 1   e   L 2 .

Podemos pensar da seguinte forma:

Quem manda no L 0 é o grau 0, então x 0 fica no quociente e manda sempre subtrair os outros termos. E ele nuuuuuunca vai aparecer em cima. Já os outros 2 pontos ( x 1 e   x 2 ) aparecem em cima e embaixo. Fica assim:

L 0 = x - x 1 x - x 2 x 0 - x 1 x 0 - x 2

Substituindo os valores, temos

L 0 = x - 0 x - 1 - 1 - 0 - 1 - 1 = x 2 - x 2

Beleza?!

Da mesma forma, quem manda no L 1 é o grau 1, então x 1 fica no quociente e manda sempre subtrair os outros termos. E ele nuuuuuunca vai aparecer em cima. Já os outros 2( x 0 e   x 2 ) aparecem em cima e embaixo. Fica assim:

L 1 = x - x 0 x - x 2 x 1 - x 0 x 1 - x 2

Substituindo os valores,

L 1 = x - - 1 x - 1 0 - - 1 0 - 1

Fazendo as continhas, temos

L 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 1 = x 2 - 1 - 1

Show de bola?!

Da mesma forma, quem manda no L 2 é o grau 2, então x 2 fica no quociente e manda sempre subtrair os outros termos. E ele nuuuuuunca vai aparecer em cima. Já os outros 2( x 0 e   x 1 ) aparecem em cima e embaixo. Fica assim:

L 2 = x - x 0 x - x 1 x 2 - x 0 x 2 - x 1 = x - - 1 x - 0 1 - - 1 1 - 0 = x 2 + x 2

Beleza?!

Passo 3

Agora juntamos tudo no polinômio:

p 2 x = y 0 L 0 + y 1 L 1 + y 2 L 2

p 2 x = 6 x 2 - x 2 + 1 . x 2 - 1 - 1 + 0 x 2 + x 2 =   2 x 2 - 3 x + 1

Show de bola?!

Resposta

2 x 2 - 3 x + 1

Exercícios Resolvidos de Forma de Lagrange