Sejam , e Determine a matriz de em relação à base e depois em relação à e mostre diretamente que as duas matrizes são congruentes
Passo 1
A ideia agora é montar a matriz de em relação a bases diferentes da canônica. Pra isso vamos usar a fórmula que vimos lá na teoria
Então, primeiro vamos achar a matriz na base canônica e depois usar as matrizes de mudança de base para achar as duas matrizes e .
Então temos que mostrar que e são congruentes, isto é que existe uma matriz tal que:
Passo 2
A essa altura a matriz na base canônica é bem direta de se achar né. Mas detalhando o procedimento fica assim:
Jogando os números daqui na matriz temos:
Passo 3
Agora achamos a matriz de mudança de base . Lembrando que é só colocar os vetores de na vertical ela fica assim:
Ainda:
Jogando na fórmula vai ficar:
Passo 4
Agora achamos a matriz de mudança de base . Lembrando que é só colocar os vetores de na vertical ela fica assim:
Ainda:
Jogando na fórmula vai ficar:
- ''Passo 5
Como vamos agora achar uma matriz que resolva nosso problema??
Vamos dar uma olhada na fórmula de mudança de base:
Dando uma mudada de leve a gente pode deixar assim (lembrem-se de como chegamos nela pra sacar que podemos fazer isso):
Então a matriz que procuramos é !!
Pra chegarmos nela vamos lembrar que:
É só seguir as setinhas entre as bases da direita para a esquerda.
Ainda:
Logo:
Vemos então o que dá:
Isso dá:
O que é justamente .
Ufa!!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)