Exercícios Resolvidos de Formas Bilineares

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Enunciado

Verifique se toda forma bilinear   ,   : V × V → R é um produto interno sobre V

Passo 1

A ideia agora é verificar se toda função que obedece às propriedades de forma bilinear também cumpre os axiomas de produto interno, ou seja mostrar que podemos sair dessas propriedades:

2.1 f u 1 + u 2 , v = f u 1 , v + f ( u 2 , v )

2.2 f u , v 1 + v 2 = f u , v 1 + f u , v 2

2.3 f λ u , v = λ f ( u , v )

2.4 f u , λ v = λ f ( u , v )

Para essas:

1.1   u , v =   v , u

1.2   λ u , v = λ   u , v

1.3   u + w , v =   u , v +   w , v

1.4   u , u > 0 , se u ≠ 0

1.5   u , u = 0 ⇔ u = 0

Passo 2

Vou adiantar pra vocês, a gente não vai fazer a mesma coisa aqui não. Isso porque a afirmação é falsa, mas é nossa tarefa mostrar isso.

O problema está no axioma 1.1, já que nem toda forma bilinear é simétrica. Essas são uma classe especial que serão mostradas depois, então não se desesperem haha.

O jeito mais fácil de mostrar que a afirmação é falsa é através de um contraexemplo, logo vamos procurar uma forma bilinear que não seja simétrica, ou seja, que não obedeça à relação 1.1.

Podemos pegar o exemplo da teoria. Se u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) , temos f u , v = x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 .

Vamos tomar u = ( 1,0 ) e v = ( 0,1 ) pra ver no que dá.

f u , v = 1.1 + 2.0 . 0 = 1

f v , u = 0.0 + 2.1 . 1 = 2

Logo:

f u , v ≠ f ( v , u )

O que contradiz o axioma 1.1. Achamos então uma forma bilinear que não é um produto interno, logo a afirmação é falsa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)