Verifique se toda forma bilinear é um produto interno sobre
Passo 1
A ideia agora é verificar se toda função que obedece às propriedades de forma bilinear também cumpre os axiomas de produto interno, ou seja mostrar que podemos sair dessas propriedades:
2.1
2.2
2.3
2.4
Para essas:
1.1
1.2
1.3
1.4 , se
1.5
Passo 2
Vou adiantar pra vocês, a gente não vai fazer a mesma coisa aqui não. Isso porque a afirmação é falsa, mas é nossa tarefa mostrar isso.
O problema está no axioma 1.1, já que nem toda forma bilinear é simétrica. Essas são uma classe especial que serão mostradas depois, então não se desesperem haha.
O jeito mais fácil de mostrar que a afirmação é falsa é através de um contraexemplo, logo vamos procurar uma forma bilinear que não seja simétrica, ou seja, que não obedeça à relação 1.1.
Podemos pegar o exemplo da teoria. Se e , temos .
Vamos tomar e pra ver no que dá.
Logo:
O que contradiz o axioma 1.1. Achamos então uma forma bilinear que não é um produto interno, logo a afirmação é falsa.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)