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Exercícios Resolvidos de Formas Quadráticas – Cônicas

Ver Teoria
Exercício 812345679

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 13 – Seção 1 – Exercício 40

(Capítulo 13.1 – Exercício 40) Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.

O cilindro de x 2 + y 2 = 4 e a superfície z = x y

Passo 1

Faaaala meu povo, vamos lá?

Nesse exercício temos as equações de 2 superfícies, e elas vão se encontrar em algum momento, saca?

O nosso objetivo aqui é ver quem é essa curva de intersecção entre as duas superfícies dadas

Vamos que vai ser bem mais fácil do que parece!

Passo 2

Queremos parametrizar a curva que é obtida pela interseção das seguintes superfícies:

x 2 + y 2 = 4 z = x y

Na primeira superfície, temos um cilindro na forma x 2 + y 2 = r 2 = 2 2 .

Lembrando que, pela relação fundamental, temos s e n 2 t + cos 2 ⁡ ( t ) = 1 :

2 . s e n t 2 + 2 . c o s t 2 = 4

Comparando com a equação do cilindro, x 2 + y 2 = 4 , podemos dizer que:

x = 2 cos ⁡ t ,   y = 2 s e n ( t )

Assim, se calcularmos x 2 + y 2 , obteremos o valor 4 novamente, de boa?

Passo 3

Para obter z , vamos utilizar a superfície:

z = x y

Substituindo o x e y do passo anterior:

z = 2 . s e n t . 2 . c o s ⁡ ( t )

Sabemos que s e n 2 a = 2 . s e n a . c o s ⁡ ( a ) , então:

z = 2 . s e n ( 2 t )

Logo, a curva que representa a intersecção das superfícies vai ser:

r t = x , y , z

r t = 2 . cos ⁡ t , 2 . s e n t , 2 . s e n 2 t

É issooo

Resposta

r t = 2 . cos ⁡ t , 2 . s e n t , 2 . s e n 2 t

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