Identifique a seguinte cônica:
Passo 1
Primeiramente, verificamos que a cônica está rotacionada e transladada! Então nosso objetivo é reescrever sua equação de forma que a gente saiba dizer qual é a cônica. Vamos escrever a equação na forma matricial:
E olha a nossa conhecida matriz que apareceu ali. É com ela que começa nossas contas pra achar a equação reescrita.
Passo 2
Vamos achar os autovalores da matriz
Lembra é só fazer
Passo 3
Agora temos que achar os autovetores unitários associados, para isso vamos ter
Vamos ter
E o autovetor associado vai ser
Podemos tirar esse
Normalizando
Passo 4
Precisamos achar o outro autovetor, para isso vamos ter
Vamos ter
E o autovetor associado vai ser
Podemos tirar esse
Normalizando
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos reescrever a equação da cônica como:
E multiplicando as matrizes, vamos chegar em:
Que equivale a:
Passo 6
E completando quadrados chegaremos a:
E finalmente:
Dividindo toda a equação por , vamos chegar em:
E então concluímos que a cônica que queríamos identificar é uma hipérbole no plano com centro em e semieixos e , ao longo dos eixos e , respectivamente.
Resposta
Hipérbole.