Exercícios Resolvidos de Formas Quadráticas – Cônicas

Enunciado

Vamos escrever a equação na forma matricial. Só para lembrar se tivermos a equação

Reescrevemos ela na forma matricial, da seguinte forma

Comparando as equação temos:

E olha a nossa conhecida matriz que apareceu ali. É com ela que começa nossas contas pra achar a equação reescrita.

Vamos achar os autovalores da matriz e seus autovetores UNITÁRIOS associados.

Escrevendo o polinômio característico de , temos que:

Resolvendo a equação de segundo grau, a gente encontra e .

E seus autovetores UNITÁRIOS associados são:

Para :

Autovetor UNITÁRIO associado é:

Para :

Autovetor UNITÁRIO associado é:

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos reescrever a equação da cônica como:

E multiplicando as matrizes, vamos chegar em:

Que equivale a:

E completando quadrados chegaremos a:

E finalmente:

Dividindo toda a equação por , vamos chegar em:

E então concluímos que a cônica que queríamos identificar é uma hipérbole no plano com centro em , e eixo real ao longo de .

Repara que essa coordenada é no plano tá?

Hipérbole.