A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica.
Passo 1
Galera essa questão já começa a misturar os tópicos de função de descontinuidade com linha elástica. Então vamos lembrar que o cálculo da linha elástica é feito como:
A gente pode escrever ainda uma equação da linha elástica diretamente com a carga:
Então nós vamos achar a linha elástica utilizando esse tipo de função! Partiu?
Passo 2
Vamos começar achando as reações nos apoios, para isso a gente vai fazer um desenho das forças:
Fazendo o somatório de forças no eixo :
Aqui vamos considerar um carregamento uniforme de mais um triangular que começa com e termina com .
Assim, a força do carregamento uniforme será dada por:
A força do carregamento triangular vai ser igual a:
Substituindo na equação:
Agora vamos aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto considerando o sentido anti-horário como positivo:
Lembrando que o ponto de atuação da força exercida pelo carregamento uniforme se encontra na metade do carregamento e do triangular em dois terços da base (a partir da ponta).
No nosso caso fica assim:
Voltando ao cálculo:
Substituindo na primeira equação vamos ter:
Passo 3
Agora temos que colocar as forças e cargas como funções de . Vamos olhar o desenho novamente:
As forças aparecem como:
Lembre-se que o último termo pode ser desprezado!
Para o carregamento distribuído vamos ter:
Somando os dois termos:
Passo 4
Agora que temos o carregamento é só aplicar a equação:
Vamos integrar pela primeira vez:
Agora fazendo a segunda derivada:
A terceira derivada:
A quarta derivada:
Agora temos de achar os valores de e .
Galera, é importante lembrar que essas constantes só aparecem nas duas últimas integrações ok? As duas primeira integrações representam a força cortante e o momento fletor, por isso não é necessário colocar as constantes de integração!
Passo 5
Agora vamos substituir as condições de contorno, como é um pino e uma rótula vamos ter em ambos. Começando pelo pino:
Como no pino e vamos ter:
Agora para a rótula e :
Resolvendo o sistema:
Portanto a nossa equação da linha elástica vale: