Probabilidade e Estatística – UFRJ – 2019.2 – PF – Questão 2
Admita que o atendimento, em minutos, num caixa de um banco seja uma variável aleatória , com densidade
a) Mostre que, de fato, é uma função de densidade.
b) Calcule a função de distribuição acumulada do tempo de atendimento, . Calcule também .
c) Suponha agora que o tempo de atendimento do outro caixa, , seja uma variável aleatória com densidade
Calcule e .
Passo 1
Fala pessoal, bora começar mais uma questão de prova?
Essa é uma questão bem tranquila sobre distribuições de probabilidade! No item (a) queremos verificar se a função
é uma função de densidade de probabilidade.
As duas condições que uma função deve satisfazer para ser uma densidade de probabilidade são: para qualquer e
Essa última condição é a condição de normalização.
Passo 2
A primeira condição é fácil de verificar: sabemos que a função exponencial é sempre positiva, de modo que
Como
pois o produto de funções positivas é positivo. Com isso, vemos que para qualquer .
Para a condição de normalização, devemos calcular
Mas como para negativo, essa integral fica:
Para calcular essa integral, vamos olhar primeiro para a primitiva:
Passo 3
Para achar essa primitiva, vamos usar integração por partes:
Escolhemos e , de modo que
Logo,
Essa última integral é fácil de fazer, de modo que
Vamos usar essa primitiva no item (b) também, então guarde ela!
Passo 4
Voltando ao nosso problema do item (a), temos que
Essa segunda integral é uma integral imprópria pois o limite é infinito. Para calcular esse tipo de integral você primeiro troca o limite de integração por :
Na última passagem usei a primitiva que achamos no passo 3 com . Fazendo as contas, obtemos
O próximo passo é tomar o limite com , aí encontramos o resultado da integral imprópria. Sabemos que
Para o outro limite note que temos uma indeterminação do tipo :
Para calcular esse limite, derivamos o numerador e o denominador (regra de L’Hospital):
Portanto, quando tomamos o limite os dois últimos termos desaparecem, de modo que
Portanto,
Com isso verificamos que satisfaz todas as condições necessárias para ser um f.d.p.
Passo 5
No item (b) queremos achar a função distribuição acumulada que representa a probabilidade de :
Repare que estou usando para a variável de integração para não confundir com a variável do limite de integração. Com isso, temos que
Vamos usar novamente a primitiva do passo 3:
Note que essa é exatamente a expressão que achamos quando calculávamos a integral imprópria. Tomando achamos , o que sempre deve ser verificado para uma probabilidade acumulada.
Todavia, essa é a expressão para . Para , como a probabilidade é sempre nula, temos
Juntando tudo:
Passo 6
No item (b) também queremos saber quanto vale . Para achar isso, escrevemos
Mas é a probabilidade acumulada em , de modo que
Portanto,
Passo 7
Finalmente vamos para o item (c)!
Agora nossa distribuição de probabilidade é
Vamos achar primeiro a função probabilidade acumulada:
Observe que para obtemos como deve ser!
Para achar , fazemos
Portanto,
Ou ainda,
Já para a outra probabilidade pedida:
Logo,
E com isso terminamos o problema 😉.
Resposta
a) Demonstração.
b) e .
c) e .