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Exercícios Resolvidos de Função de Distribuição Acumulada

Ver Teoria
Exercício 81234567

Enunciado

Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função de densidade de probabilidade:

f x x = x 2   ,     0 ≤ x < 1 1 2   ,     1 ≤ x < 2 - x 2 + 3 2   ,     2 ≤ x < 3 0   ,     x ∉ [ 0,3 ]

  1. Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de X .
  2. Calcule P ( 1 ≤ X < 3 ) e P ( 1 ≤ X < 2 ) .
  3. Calcule a média de X .

Passo 1

a)

Para calcular a FDA, ou F ( x ) , temos que INTEGRAR a função de densidade da seguinte forma:

F x = ∫ - ∞ x f x ( x ) d x

Como nossa função f ( x ) pode ter 4 expressões diferentes, nossa FDA também vai seguir essa regra. Vamos começar calculando F ( x ) para 0 ≤ x < 1 . Nossa integral tem que começar no zero, então:

F x = ∫ 0 x x 2 d x = x 2 4

Agora para   1 ≤ x < 2 , começamos no um:

F x = ∫ 1 x 1 2 d x = x 2 - 1 2 = x - 1 2

Para   2 ≤ x < 3 , começamos no dois:

F x = ∫ 2 x - x 2 + 3 2 d x = - x 2 4 + 3 x 2 - - 4 4 + 6 2 = - x 2 4 + 3 x 2 - 2

E quando x ∉ [ 0,3 ] , a f x ( x ) vale zero, isso quer dizer que ela começa em 0 e termina em 3 , então esses vão ser o começo e o fim da nossa FDA. Organizando todas as expressões encontradas:

F x = 0   ,     x < 0 x ² 4   ,     0 ≤ x < 1 x - 1 2   ,     1 ≤ x < 2   = - x 2 4 + 3 x 2 - 2 ,     2 ≤ x < 3 1   ,     x ≥ 3

Passo 2

b)

A primeira probabilidade:

P 1 ≤ X < 3 = P X < 3 - P X ≤ 1 = F 3 - F 1 = 1 - 1 4 = 3 4

E a segunda:

P 1 ≤ X < 2 = P X < 2 - P X ≤ 1 = F 2 - F 1 = 3 4 - 1 4 = 1 2

Passo 3

c)

Para calcular a média/esperança temos que resolver a seguinte integral:

E X = ∫ - ∞ + ∞ x f x d x

No nosso caso, a função só tem valor não nulo no intervalor 0,3 , então:

E X = ∫ 0 3 x f x d x

Mas a função assume expressões diferentes de uma em uma unidade, então temos que quebrá-la em três:

E X = ∫ 0 3 x f x d x = ∫ 0 1 x . x 2 d x + ∫ 1 2 x . 1 2   d x + ∫ 2 3 x - x 2 + 3 2 d x

E X = ∫ 0 1 x ² 2 d x + ∫ 1 2 x 2   d x + ∫ 2 3 - x ² 2 + 3 x 2 d x

E X = x 3 6 0 1 + x 2 4 1 2 + - x 3 6 + 3 x 2 4 2 3

E X = 1 6 + 4 4 - 1 4 + - 27 6 + 27 4 - - 8 6 + 12 4

E X = 3 2

Resposta

a)

F x = 0   ,     x < 0 x ² 4   ,     0 ≤ x < 1 x - 1 2   ,     1 ≤ x < 2   - x 2 4 + 3 x 2 - 2 ,     2 ≤ x < 3 1   ,     x ≥ 3

b)

P 1 ≤ X < 3 = 3 4

P 1 ≤ X < 2 = 1 2

c)

E X = 3 2

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