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Exercícios Resolvidos de Função de Distribuição Acumulada

Ver Teoria
Exercício 71234568

Enunciado

USP, Probabilidade, P3-2018.2, Teste 12

12) O tempo que um aparelho eletrônico funciona sem apresentar defeito tem distribuição exponencial com média 500 0 h . Este não apresentou defeito até o momento, mas não se sabe por quanto tempo T já foi usado. Qual a probabilidade de que não apresente defeito durante as próximas 3000 h ?

a) 2 / 5 .

b) é necessário saber T .

c) e - 0,5 .

d) 1 / 3 .

e) e - 0,6 .

Passo 1

Faaala gente bonita, tudo bem com vocês?

Nesse exercício temos um aparelho eletrônico cujo tempo que demora para apresentar defeito segue uma distribuição exponencial. Tá todo mundo lembrado que distribuição é essa?

Hahaha, bora dar uma revisada. Afinal, ninguém é um livrinho pra lembrar de tudo né?!

A distribuição exponencial é uma distribuição de V.A contínua, porque o tempo pode assumir qualquer valor real. A sua função densidade de probabilidade é dada por:

f x =   f x = 0 ,     x < 0 λ e - λ x ,     x ≥ 0

Além disso, a sua esperança (média) e variância valem, respectivamente:

E X = 1 λ

V a r X = 1 λ 2

Massa! Isso é o mais importante que precisamos saber.

Agora que já revisamos a teoria, como podemos calcular a probabilidade do aparelho não apresentar defeito em menos de 3000 h , sabendo que em média ele demora 50 0 0 h pra apresentar defeito?

Passo 2

Então, vamos por partes! Pra poder calcular a probabilidade precisamos calcular a função de densidade acumulada (FDA), F ( x ) . Basicamente ela vale:

F x =   ∫ f ( x ) d x

Mas, pra saber f ( x ) precisamos antes determinar λ .

Uma ideia legal é usar a informação dada sobre a média, sabemos que:

E X = 500

Só que:

E X = 1 λ

Daí, igualando as informações, temos:

λ = 1 50 0 0

Massa! Agora já podemos escrever f ( x ) :

f x = 1 50 0 0 ⋅ e - 1 50 0 0 ⋅ x  

Beleza! Consequentemente, a função de densidade acumulada vale:

F x =   ∫ 1 5 0 00 ⋅ e - 1 500 0 ⋅ x d x

F x = - e - 1 50 0 0 ⋅ x + C

Só que quando x → ∞ , devemos ter F x = 1 , já que isso representa a probabilidade total. Daí, vem que:

C = 1

⇒ F x = 1 - e - 1 5 0 00 ⋅ x

Essa função representa a probabilidade do aparelho eletrônico apresentar falha em X ≤ x .

Ou seja:

P X ≤ x = 1 - e - 1 50 0 0 x

Sacaram?!

Passo 3

Top! Nosso objetivo é calcular a probabilidade do aparelho eletrônico não falhar para x ≤ 3000 , ou seja, P ( X > 3000 )

Mas vocês tão ligados na complementaridade da probabilidade né? Basicamente, é que:

P X ≤ 3000 + P X > 3000 = 1

Então:

P X > 3000 = 1 - P ( X ≤ 3000 )

Maaas, pela função de densidade acumulada, nós sabemos que:

P X ≤ 3000 = F ( 3000 )

Substituindo esse resultado, chegamos que:

P X > 3000 = 1 - 1 - e - 1 50 0 0 ⋅ 3000

⇒ P X > 3000 = e - 0 , 6

Prontinho 😉

Conseguiram entender bem?! A ideia é essa, calcula a FDA e depois corre pro abraço!

Resposta

Letra e: e - 0,6

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