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Exercícios Resolvidos de Função de Distribuição Acumulada

Ver Teoria
Exercício 51234678

Enunciado

TAREFA da aula-3- Probabilidade e Estatística – Questão 4

Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função de densidade de probabilidade:

f x x = x 2   ,     0 ≤ x < 1 1 2   ,     1 ≤ x < 2 - x 2 + 3 2   ,     2 ≤ x < 3 0   ,     x ∉ [ 0,3 ]

a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de X .

b) Calcule P ( 1 ≤ X < 3 ) e P ( 1 ≤ X < 2 ) .

c) Calcule a média de X .

Passo 1

a) Para calcular a FDA, ou F ( x ) , temos que INTEGRAR a função de densidade da seguinte forma:

F x = ∫ - ∞ x f x ( x ) d x

Como nossa função f ( x ) pode ter 4 expressões diferentes, já que ela tem 4 diferentes subintervalos; nossa F D A também vai seguir essa regra.

Vamos começar calculando F ( x ) para 0 ≤ x < 1 . Nossa integral tem que começar no zero, então:

F x = ∫ 0 x x 2 d x = x 2 4

Agora para   1 ≤ x < 2 , começamos no um e então...

F x = ∫ 1 x 1 2 d x = 1 2 x 1 x = x 2 - 1 2 = x - 1 2

Para   2 ≤ x < 3 , começamos no dois e assim:

F x = ∫ 2 x - x 2 + 3 2 d x = - x 2 4 + 3 x 2 - - 4 4 + 6 2 = - x 2 4 + 3 x 2 - 2

E quando x ∉ [ 0,3 ] , a f x ( x ) vale zero, isso quer dizer que ela começa em 0 e termina em 3 , então qualquer valor diferente desses dai a função de distribuição vai valer nada mais nada menos do que zero. Entenderam aí, meus queridos aluninho do coração!

Organizando todas as expressões encontradas, obtemos que:

F x = 0   ,     x < 0 x ² 4   ,     0 ≤ x < 1 x - 1 2   ,     1 ≤ x < 2   = - x 2 4 + 3 x 2 - 2 ,     2 ≤ x < 3 1   ,     x ≥ 3

Passo 2

b)

Em seguida, a gente tem que calcular P ( 1 ≤ X < 3 ) e P ( 1 ≤ X < 2 ) .

É de boas! É só olhar a função F ( x ) obtida anteriormente.

Por exemplo, para a primeira probabilidade, temos que:

P 1 ≤ X < 3 = P 1 ≤ x < 2 + P 2 ≤ x < 3

P 1 ≤ X < 3 = x - 1 2 1 2 + - x 2 4 + 3 x 2 - 2 2 3

P 1 ≤ X < 3 = 2 - 1 - 1 + 1 2 + - 9 4 + 9 2 - 2 + 1 - 3 + 2

P 1 ≤ X < 3 = 1 2 + 1 4

P 1 ≤ X < 3 = 3 4

Já para a segunda:

P 1 ≤ X < 2 = x - 1 2 1 2

P 1 ≤ X < 2 = 2 - 1 - 1 + 1 2

P 1 ≤ X < 2 = 1 2

Passo 3

c) Para calcular a média, também chamada de esperança, temos que resolver a seguinte integral:

E X = ∫ - ∞ + ∞ x f x d x

No nosso caso, a função só tem valor não nulo no intervalo 0,3 , então:

E X = ∫ 0 3 x f x d x

Mas a função assume expressões diferentes de uma em uma unidade, então temos que quebrá-la em três:

E X = ∫ 0 3 x f x d x = ∫ 0 1 x ⋅ x 2 d x + ∫ 1 2 x ⋅ 1 2   d x + ∫ 2 3 x - x 2 + 3 2 d x

E X = ∫ 0 1 x ² 2 d x + ∫ 1 2 x 2   d x + ∫ 2 3 - x ² 2 + 3 x 2 d x

E X = x 3 6 0 1 + x 2 4 1 2 + - x 3 6 + 3 x 2 4 2 3

E X = 1 6 + 4 4 - 1 4 + - 27 6 + 27 4 - - 8 6 + 12 4

E X = 3 2

Pronto! Terminamos a lista 3 !

Bora pra frente que atrás vem gente!

Resposta

a)

F x = 0   ,     x < 0 x ² 4   ,     0 ≤ x < 1 x - 1 2   ,     1 ≤ x < 2   - x 2 4 + 3 x 2 - 2 ,     2 ≤ x < 3 1   ,     x ≥ 3

b)

P 1 ≤ X < 3 = 3 4

P 1 ≤ X < 2 = 1 2

c)

E X = 3 2

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