Lista de Aplicações Cálculo 1 - UnB de Cálculo 1 da UnB - Lista 12

Para uma função contínua o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo é dado por

Calcule esse volume no caso em que , definida no intervalo , conforme a figura ao lado.

A figura ao lado ilustra o gráfico da função , . A área sob esse gráfico entre e é dada pela integral

Use uma mudança de variáveis para transformar a integral indefinida em uma outra cujo integrando não envolva a função raiz quadrada.

Calcule a integral do item anterior usando integração por partes.

Usando os resultados anteriores, determine explicitamente a função .

Calcule o limite usando a regra de L’Hospital, e verifique se a área sob o gráfico da , para , é finita.

Considere um recipiente cilíndrico de raio , inicialmente em repouso com água até a altura . Em seguida, o recipiente começa a girar até que, juntamente com a água, alcance uma velocidade angular constante igual a . Nesse caso, a superfície da água corresponde à rotação, em torno do eixo , do gráfico de uma função , com . Não havendo perda de água, pode-se mostrar que , onde é a aceleração da gravidade e é uma constante que depende de .

O volume do sólido de rotação do gráfico de em torno do eixo é igual a Use essa informação para calcular o volume de água no recipiente em termos de e .

Usando o item anterior, obtenha como função .

Determine o valor de para que seja igual à metade da altura da água em repouso.