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Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

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Enunciado

UNB – Sem Campus – Cálculo 1 – Listas – Listas de Aplicações Calculo 1 – UNB – Questão 1

Para uma função contínua f : a , b → R o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo O x é dado por

V = ∫ a b π f x 2 d x .

Calcule esse volume no caso em que f x = x e x , definida no intervalo [ 0,1 ] , conforme a figura ao lado.

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado apresenta para nós o método dos discos para o cálculo do volume de sólidos de revolução. Ao estabelecer a função f ( x ) e o intervalo, temos tudo que precisamos para calcular o volume diretamente, ou seja, precisamos resolver

V = π ∫ 0 1 x e x 2 d x = π ∫ 0 1 x 2 e 2 x d x

O formato desta integral é conveniente de ser resolvido por partes! Vamos fazer isso!!

Passo 2

Vamos utilizar a seguinte definição

∫ a b u d v = u v ​ a b - ∫ a b v d u           ( 1 )

Em que podemos utilizar a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica, Exponencial) para determinar a ordem de preferência em quem será o nosso u . Note que exponencial tem a menor preferência, portanto, vamos escolher

u = x 2 → d u = 2 x d x

E para o d v , temos

d v = e 2 x d x → v = ∫ e 2 x d x = 1 2 e 2 x

Usando ambos na equação (1), obtemos

∫ 0 1 x 2 e 2 x d x = 1 2 x 2 e 2 x ​ 0 1 - 2 2 ∫ 0 1 x e 2 x d x

Expandindo os limites de integração, fazendo final menos inicial, obtemos

∫ 0 1 x 2 e 2 x d x = 1 2 e 2 - ∫ 0 1 x e 2 x d x           ( 2 )

Precisamos integrar por partes novamente! Sem desespero! Bora lá!

Passo 3

Vamos resolver a integral

∫ 0 1 x e 2 x d x

Utilizando LIPTE novamente, podemos escolher que

u = x → d u = d x

Também temos que

d v = e 2 x d x → v = 1 2 e 2 x

Da mesma forma que fizemos anteriormente. Vamos substituir ambos na equação (1)!

Passo 4

Fazendo a substituição, nós temos que

∫ 0 1 x e 2 x d x = 1 2 x e 2 x ​ 0 1 - 1 2 ∫ 0 1 e 2 x d x

Avaliando os limites de integração

∫ 0 1 x e 2 x d x = 1 2 e 2 - 1 2 ∫ 0 1 e 2 x d x

E, usando que

∫ 0 1 e 2 x d x = 1 2 e 2 x ​ 0 1 = 1 2 e 2 - e 0 = 1 2 ( e 2 - 1 )

Temos que

∫ 0 1 x e 2 x d x = 1 2 e 2 - 1 2 1 2 e 2 - 1 = 1 2 e 2 - 1 4 e 2 + 1 4

Somando ambos os termos iguais, temos que

∫ 0 1 x e 2 x d x = 1 4 e 2 + 1 4           ( 3 )

Só precisamos utilizar esse resultado na equação (2), e temos nossa resposta na mão! Saca só!

Passo 5

Usando a equação (3) na equação (2), obtemos

∫ 0 1 x 2 e 2 x d x = 1 2 e 2 - 1 4 e 2 - 1 4 = 1 4 e 2 - 1 4

Ou, voltando na equação do volume, temos

V = π 4 e 2 - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

V = π 4 e 2 - 1

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