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Lista de Exercicios - UnB de Cálculo 1 da UnB - Lista 1

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Cálculo 1 - UnB

1) Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s t = 4 + t 2 , então a velocidade média entre os instantes t = 2 e t = 2 + h é dada por

s 2 + h - s 2 h = 4 + 2 + h 2 - 4 + 2 2 h = … = h 4 + h h = 4 + h

Quanto mais próximo h estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em t = 2 , de modo que essa velocidade vale

v 2 = lim h → 0 ⁡ s 2 + h - s 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 + h = 4 + 0 = 4 .

Para cada função abaixo, simplifique o quociente s t 0 + h - s t 0 h que dá a velocidade média entre os intentes t = t 0 e t = t 0 + h . Em seguida, calcule a velocidade v t 0 fazendo h se aproximar de zero.

(a) s t = t 2 , no ponto t 0 = 3

(b) s t = t 3 , no ponto t 0 = 1

(c) s t = t , no ponto t 0 = 9

(d) s t = s 0 + v 0 t + a 2 t 2 , com s 0 , v ,   a ∈ R , em um ponto t 0 > 0 genérico.

Dica: para o item (b), lembre que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por 9 + h + 3

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1) Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s t = 4 + t 2 , então a velocidade média entre os instantes t = 2 e t = 2 + h é dada por

s 2 + h - s 2 h = 4 + 2 + h 2 - 4 + 2 2 h = … = h 4 + h h = 4 + h

Quanto mais próximo h estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em t = 2 , de modo que essa velocidade vale

v 2 = lim h → 0 ⁡ s 2 + h - s 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 + h = 4 + 0 = 4 .

Para cada função abaixo, simplifique o quociente s t 0 + h - s t 0 h que dá a velocidade média entre os intentes t = t 0 e t = t 0 + h . Em seguida, calcule a velocidade v t 0 fazendo h se aproximar de zero.

(a) s t = t 2 , no ponto t 0 = 3

(b) s t = t 3 , no ponto t 0 = 1

(c) s t = t , no ponto t 0 = 9

(d) s t = s 0 + v 0 t + a 2 t 2 , com s 0 , v ,   a ∈ R , em um ponto t 0 > 0 genérico.

Dica: para o item (b), lembre que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por 9 + h + 3

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1) Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s t = 4 + t 2 , então a velocidade média entre os instantes t = 2 e t = 2 + h é dada por

s 2 + h - s 2 h = 4 + 2 + h 2 - 4 + 2 2 h = … = h 4 + h h = 4 + h

Quanto mais próximo h estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em t = 2 , de modo que essa velocidade vale

v 2 = lim h → 0 ⁡ s 2 + h - s 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 + h = 4 + 0 = 4 .

Para cada função abaixo, simplifique o quociente s t 0 + h - s t 0 h que dá a velocidade média entre os intentes t = t 0 e t = t 0 + h . Em seguida, calcule a velocidade v t 0 fazendo h se aproximar de zero.

(a) s t = t 2 , no ponto t 0 = 3

(b) s t = t 3 , no ponto t 0 = 1

(c) s t = t , no ponto t 0 = 9

(d) s t = s 0 + v 0 t + a 2 t 2 , com s 0 , v ,   a ∈ R , em um ponto t 0 > 0 genérico.

Dica: para o item (b), lembre que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por 9 + h + 3

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1) Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s t = 4 + t 2 , então a velocidade média entre os instantes t = 2 e t = 2 + h é dada por

s 2 + h - s 2 h = 4 + 2 + h 2 - 4 + 2 2 h = … = h 4 + h h = 4 + h

Quanto mais próximo h estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em t = 2 , de modo que essa velocidade vale

v 2 = lim h → 0 ⁡ s 2 + h - s 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 + h = 4 + 0 = 4 .

Para cada função abaixo, simplifique o quociente s t 0 + h - s t 0 h que dá a velocidade média entre os intentes t = t 0 e t = t 0 + h . Em seguida, calcule a velocidade v t 0 fazendo h se aproximar de zero.

(a) s t = t 2 , no ponto t 0 = 3

(b) s t = t 3 , no ponto t 0 = 1

(c) s t = t , no ponto t 0 = 9

(d) s t = s 0 + v 0 t + a 2 t 2 , com s 0 , v ,   a ∈ R , em um ponto t 0 > 0 genérico.

Dica: para o item (b), lembre que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por 9 + h + 3

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Sejam I   ⊂   R um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função. Dado a   ∈   I , a reta tangente ao gráfico de f   no ponto ( a ,   f ( a ) )   é a (única) reta que passa pelo ponto a ,   f a e tem inclinação igual a

f   '   ( a )   = lim x → a ⁡   f ( x )   -   f ( a ) x   -   a   ,

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Sejam I   ⊂   R um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função. Dado a   ∈   I , a reta tangente ao gráfico de f   no ponto ( a ,   f ( a ) )   é a (única) reta que passa pelo ponto a ,   f a e tem inclinação igual a

f   '   ( a )   = lim x → a ⁡   f ( x )   -   f ( a ) x   -   a   ,

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Sejam I   ⊂   R um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função. Dado a   ∈   I , a reta tangente ao gráfico de f   no ponto ( a ,   f ( a ) )   é a (única) reta que passa pelo ponto a ,   f a e tem inclinação igual a

f   '   ( a )   = lim x → a ⁡   f ( x )   -   f ( a ) x   -   a   ,

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