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Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites e suas Propriedades

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Enunciado

UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios – Semana 01

1) Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s t = 4 + t 2 , então a velocidade média entre os instantes t = 2 e t = 2 + h é dada por

s 2 + h - s 2 h = 4 + 2 + h 2 - 4 + 2 2 h = … = h 4 + h h = 4 + h

Quanto mais próximo h estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em t = 2 , de modo que essa velocidade vale

v 2 = lim h → 0 ⁡ s 2 + h - s 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 + h = 4 + 0 = 4 .

Para cada função abaixo, simplifique o quociente s t 0 + h - s t 0 h que dá a velocidade média entre os intentes t = t 0 e t = t 0 + h . Em seguida, calcule a velocidade v t 0 fazendo h se aproximar de zero.

(a) s t = t 2 , no ponto t 0 = 3

(b) s t = t 3 , no ponto t 0 = 1

(c) s t = t , no ponto t 0 = 9

(d) s t = s 0 + v 0 t + a 2 t 2 , com s 0 , v ,   a ∈ R , em um ponto t 0 > 0 genérico.

Dica: para o item (b), lembre que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por 9 + h + 3

Passo 1

E aeee... tudo bom?

Um enunciado gigante, né? Mas não se assusta muito não porque ele só tá dando dicas pra gente de como resolver passo a passo.

Nessa questão vamos precisar simplificar o tal quociente que ele pede:

s t 0 + h - s t 0 h

Mas sabe por quê?? Repara que se calcularmos o limite desse quociente aí com h tendendo a zero ficamos com:

lim h → 0 ⁡ s t 0 + h - s t 0 h = s t 0 + 0 - s t 0 0 = s t 0 - s t 0 0 = 0 0

Deu “zero sobre zero” e isso aí não pode, heim!? Quando isso acontece dizemos que o limite conduz a uma indeterminação e daí precisamos fazer alguma “mágica” (ou simplificar o quociente) pra tentar cortar o h .

Depois de cortar o h e não dar mais 0 / 0 conseguimos calcular essa velocidade no ponto t 0 .

Bora lá então...

Passo 2

Para a letra (d) temos que a posição é dada por s t = s 0 + v 0 t + a 2 t 2 e o ponto é t 0 > 0 .

O bendito quociente vai ficar, então:

s t 0 + h - s t 0 h = s 0 + v 0 t 0 + h + a 2 t 0 + h 2 - s 0 + v 0 t 0 + a 2 t 0 2 h

= s 0 + v 0 t 0 + h + a 2 t 0 2 + 2 t 0 h + h 2 - s 0 + v 0 t 0 + a 2 t 0 2 h

= s 0 + v 0 t 0 + v 0 h + a 2 t 0 2 + a t 0 h + a 2 h 2 - s 0 + v 0 t 0 + a 2 t 0 2 h

= s 0 + v 0 t 0 + v 0 h + a 2 t 0 2 + a t 0 h + a 2 h 2 - s 0 - v 0 t 0 - a 2 t 0 2 h

= v 0 h + a t 0 h + a 2 h 2 h

Colocando o h em evidência, na parte de cima:

= h v 0 + a t 0 + a 2 h h

Ohhhh... agora dá pra simplificar:

= v 0 + a t 0 + a 2 h

Passo 3

Agora só falta calcular a velocidade, fazendo o h se aproximar de zero:

v t 0 = lim h → 0 ⁡ s t 0 + h - s t 0 h

= lim h → 0 ⁡ v 0 + a t 0 + a 2 h

= v 0 + a t 0 + a 2 0

= v 0 + a t 0

Uhuuul... Acabamos a questão todinha. Vamos pra próxima?

Resposta

v t 0 = v 0 + a t 0

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