UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios – Semana 01
1) Se a posição de um carro no instante é dada por , então a velocidade média entre os instantes e é dada por
Quanto mais próximo estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em , de modo que essa velocidade vale
Para cada função abaixo, simplifique o quociente que dá a velocidade média entre os intentes e . Em seguida, calcule a velocidade fazendo se aproximar de zero.
(a) , no ponto
(b) , no ponto
(c) , no ponto
(d) , com , , em um ponto genérico.
Dica: para o item (b), lembre que ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por
Passo 1
Opaaa... tudo beleza??
Enunciado grandão, né? Mas não se assusta muito não porque ele só tá dando dicas pra gente de como resolver passo a passo.
Nessa questão vamos precisar simplificar o tal quociente que ele pede:
Mas sabe por quê?? Repara que se calcularmos o limite desse quociente aí com tendendo a zero ficamos com:
Deu “zero sobre zero” e isso aí não pode, heim!? Quando isso acontece dizemos que o limite conduz a uma indeterminação e daí precisamos fazer alguma “mágica” (ou simplificar o quociente) pra tentar cortar o .
Depois de cortar o e não dar mais conseguimos calcular essa velocidade no ponto .
Bora lá então...
Passo 2
Para a letra (c) temos que a posição é dada por e o ponto é .
O bendito quociente vai ficar, então:
Agora nós vamos usar a dica que ele deu pra esse item lá no final da questão:
multiplicar o numerador e o denominador por ), mas vamos até começar um passo novo pra dar uma atençãozinha melhor a isso.
Passo 3
Sei que super parece só um passo de mágica ter que usar essa dica, maaaaaaaaas não é tão aleatória assim.
Lembra comigo desse produto notável aqui:
Sabia que ele está diretamente relacionado com essa dica que ele deu???
Pois é... Quando pegamos a parte de cima lá do quociente e multiplicamos por , ficamos com:
Ohhh... já conseguiu reparar a semelhança? Se sim, dá pra gente fazer essa conta ai, né...
Lembrando que elevar uma raiz quadrada ao quadrado é só sumir com a raiz, então:
Mas vamos voltar à questão...
Passo 4
Multiplicando o numerador e o denominador por , ficamos com:
Agora dá pra simplificar:
Passo 5
Agora só falta calcular a velocidade, fazendo o se aproximar de zero:
Uauu... essa deu trabalho a beça, né? Mas desanima não... Vamos pra próxima