1) Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s t = 4 + t 2 , então a velocidade média entre os instantes t = 2 e t = 2 + h é dada por

s 2 + h - s 2 h = 4 + 2 + h 2 - 4 + 2 2 h = … = h 4 + h h = 4 + h

Quanto mais próximo h estiver de zero, mais perto a velocidade média estará da velocidade em t = 2 , de modo que essa velocidade vale

v 2 = lim h → 0 ⁡ s 2 + h - s 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 + h = 4 + 0 = 4 .

Para cada função abaixo, simplifique o quociente s t 0 + h - s t 0 h que dá a velocidade média entre os intentes t = t 0 e t = t 0 + h . Em seguida, calcule a velocidade v t 0 fazendo h se aproximar de zero.

(a) s t = t 2 , no ponto t 0 = 3

(b) s t = t 3 , no ponto t 0 = 1

(c) s t = t , no ponto t 0 = 9

(d) s t = s 0 + v 0 t + a 2 t 2 , com s 0 , v ,   a ∈ R , em um ponto t 0 > 0 genérico.

Dica: para o item (b), lembre que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 ; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por 9 + h + 3

Passo 1

Opaaa... tudo beleza??

Enunciado grandão, né? Mas não se assusta muito não porque ele só tá dando dicas pra gente de como resolver passo a passo.

Nessa questão vamos precisar simplificar o tal quociente que ele pede:

s t 0 + h - s t 0 h

Mas sabe por quê?? Repara que se calcularmos o limite desse quociente aí com h tendendo a zero ficamos com:

lim h → 0 ⁡ s t 0 + h - s t 0 h = s t 0 + 0 - s t 0 0 = s t 0 - s t 0 0 = 0 0

Deu “zero sobre zero” e isso aí não pode, heim!? Quando isso acontece dizemos que o limite conduz a uma indeterminação e daí precisamos fazer alguma “mágica” (ou simplificar o quociente) pra tentar cortar o h .

Depois de cortar o h e não dar mais 0 / 0 conseguimos calcular essa velocidade no ponto t 0 .

Bora lá então...

Passo 2

Para a letra (c) temos que a posição é dada por s t = t e o ponto é t 0 = 9 .

O bendito quociente vai ficar, então:

s t 0 + h - s t 0 h = s 9 + h - s 9 h

= 9 + h - 9 h

= 9 + h - 3 h

= 9 + h - 3 h

Agora nós vamos usar a dica que ele deu pra esse item lá no final da questão:

multiplicar o numerador e o denominador por ( 9 + h + 3 ), mas vamos até começar um passo novo pra dar uma atençãozinha melhor a isso.

Passo 3

Sei que super parece só um passo de mágica ter que usar essa dica, maaaaaaaaas não é tão aleatória assim.

Lembra comigo desse produto notável aqui:

a - b a + b = a 2 - b 2

Sabia que ele está diretamente relacionado com essa dica que ele deu???

Pois é... Quando pegamos a parte de cima lá do quociente e multiplicamos por 9 + h + 3 , ficamos com:

9 + h - 3 9 + h + 3 =

Ohhh... já conseguiu reparar a semelhança? Se sim, dá pra gente fazer essa conta ai, né...

a + b a - b = a 2 - b 2

9 + h - 3 9 + h + 3 = 9 + h 2 - 3 2 )  

Lembrando que elevar uma raiz quadrada ao quadrado é só sumir com a raiz, então:

9 + h - 3 9 + h + 3 = 9 + h - 9

= h

Mas vamos voltar à questão...

Passo 4

Multiplicando o numerador e o denominador por 9 + h + 3 , ficamos com:

9 + h - 3 h ⋅ 9 + h + 3 9 + h + 3 = 9 + h 2 - 3 2 h 9 + h + 3

= 9 + h - 9 h 9 + h + 3

= h h 9 + h + 3

Agora dá pra simplificar:

= 1 9 + h + 3

Passo 5

Agora só falta calcular a velocidade, fazendo o h se aproximar de zero:

v 9 = lim h → 0 ⁡ s 9 + h - s 9 h

= lim h → 0 ⁡ 1 9 + h + 3

= 1 9 + 0 + 3

= 1 3 + 3

= 1 6

Uauu... essa deu trabalho a beça, né? Mas desanima não... Vamos pra próxima

Resposta

v 9 = 1 6

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.