P1 de Cálculo 2 da UNICAMP - 2014.2 - 6ª Matutino

Sejam funções diferenciáveis. Mostre que , em que , satisfaz a equação de onda .

Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de , que passam, ambos, pelos pontos e .

Seja uma função de duas variáveis com derivadas se segunda ordem contínuas. Se , em que e , determine .

Considere a função:

Em que é um número real.

1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de em .
2. É possível escolher de modo que seja contínua em ? No caso afirmativo, qual deve ser o valor de ?
3. Mostre que , com , não possui derivada direcional em na direção de um vetor , com e .
4. é diferenciável em quando ? Justifique!

Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: , , , e . A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é , em que e são as proporções de , e na população. Sabendo que , determine a proporção máxima de indivíduos que carregam dois alelos em uma população.

Determine a equação do plano tangente à superfície , com e maiores do que , que forma um tetraedro mínimo com os planos coordenados.

Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano no primeiro octante é dado por .