Plano Tangente e Reta Normal
Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de , que passam, ambos, pelos pontos e .
Passo 1
Bom, equação do plano tangente é aquele mesmo processo de sempre, achar as derivadas parciais (formando o vetor gradiente) e multiplicar por um vetor genérico . Aí falamos que esse produto é , pois o vetor gradiente e o plano tangente são perpendiculares.
Então partiu encontrar essas derivadas!
Então,
E agora temos o nosso vetor gradiente num ponto da superfície:
Passo 2
Ok, e agora? A questão não só não nos deu o ponto de tangência do plano, como nos pediu os possíveis! Mas calma, ela disse que tanto o ponto como o pertencem aos planos tangentes. E o que isso significa? Então, lembra daquele vetor genérico que sempre criamos, ? As primeira coordenadas, e eram de pontos que formavam o plano, sendo que as segundas, eram do ponto de tangência, certo? Como agora temos as coordenadas e , de dois pontos que foram dados pelo enunciado, ainda podemos descobrir a equação do plano!
Assim, vamos montar duas equações: uma dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor é , e outra dizendo que o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor é .
Então, poderemos descobrir as coordenadas dos pontos de tangência, e a equação dos dois planos!
Passo 3
Desenvolvendo a primeira,
Desenvolvendo a segunda, temos:
Como sabemos que , então:
E o nosso sistema fica:
Que vale:
Passo 4
Resolvendo o sistema
podemos subtrair a primeira equação da segunda, e teremos:
Colocando esse valor em qualquer uma das duas, por exemplo, na primeira, teremos:
E teremos, colocando esses dois valores na equação do ,
E nossos dois pontos de tangência são e !
Passo 5
Agora sim! Como sabemos em quais pontos os planos são tangentes, vamos criar dois vetores genéricos, um para cada plano, e .
Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente da superfície no primeiro ponto e o primeiro vetor genérico, teremos:
Fazendo o produto escalar entre o vetor gradiente e o segundo vetor genérico, teremos:
Resposta
Planos: e